Calcule as integrais abaixo
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3 x^{2}+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3 x^{2}+1}}\,dx.
Informações dadas e observações úteis:
  • A função integranda é \dfrac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Para x\in[0,1] temos 3x^{2}+1\ge 1>0, então não há problema com a raiz no denominador (a integral está bem definida).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Escolha do método: observe que a expressão dentro da raiz é 3x^{2}+1 e sua derivada em relação a x é 6x, que é proporcional ao numerador x. Isso sugere uma substituição do tipo mudança de variável u=3x^{2}+1, que vai simplificar a integral porque transformará a raiz em u^{1/2} e eliminará o x\,dx.
Façamos a substituição:
u = 3x^{2}+1.
Agora calcule du. Diferenciando em relação a x:
du = 6x\,dx.
Isolando x\,dx:
x\,dx = \frac{1}{6}\,du.

Passo 3

Troca dos limites de integração: como a integral é definida, devemos converter os limites em termos de u.
  • Quando x=0: u=3\cdot 0^{2}+1=1.
  • Quando x=1: u=3\cdot 1^{2}+1=4.
Portanto, os novos limites são u=1 a u=4.

Passo 4

Substitua tudo na integral original. A integranda \dfrac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}}\,dx vira, usando u e x\,dx=\dfrac{1}{6}du:
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3 x^{2}+1}}\,dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{6}\,du.
Escrevendo de forma mais simples:
\int_{1}^{4} \frac{1}{6}\,u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Integre em u. Usamos a regra de potências para integrais: para \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq -1. Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{1}{2} e dividir por \tfrac{1}{2} é multiplicar por 2.
Aplicando:
\int u^{-1/2}\,du = 2u^{1/2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{6} que estava fora:
\int_{1}^{4} \frac{1}{6}u^{-1/2}\,du = \frac{1}{6}\cdot 2u^{1/2}\Big|_{1}^{4} = \frac{1}{3}u^{1/2}\Big|_{1}^{4}.

Passo 6

Avalie nos limites u=1 e u=4:
\frac{1}{3}\left(\sqrt{4}-\sqrt{1}\right) = \frac{1}{3}(2-1)=\frac{1}{3}.
Como verificação rápida (útil na prova): a primitiva em x obtida pela substituição é
F(x)=\frac{1}{3}\sqrt{3x^{2}+1},
pois substituindo u=3x^{2}+1 temos F(x)=(1/3)u^{1/2}. Diferenciando F confirma que F'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}}, então a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados