Calcule as integrais abaixo \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3 x^{2}+1}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3 x^{2}+1}}\,dx.
Informações dadas e observações úteis:
A função integranda é \dfrac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}}.
O intervalo de integração é [0,1].
Para x\in[0,1] temos 3x^{2}+1\ge 1>0, então não há problema com a raiz no denominador (a integral está bem definida).
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Escolha do método: observe que a expressão dentro da raiz é 3x^{2}+1 e sua derivada em relação a x é 6x, que é proporcional ao numerador x. Isso sugere uma substituição do tipo mudança de variável u=3x^{2}+1, que vai simplificar a integral porque transformará a raiz em u^{1/2} e eliminará o x\,dx.
Façamos a substituição:
u = 3x^{2}+1.
Agora calcule du. Diferenciando em relação a x:
du = 6x\,dx.
Isolando x\,dx:
x\,dx = \frac{1}{6}\,du.
Passo 3
Troca dos limites de integração: como a integral é definida, devemos converter os limites em termos de u.
Quando x=0: u=3\cdot 0^{2}+1=1.
Quando x=1: u=3\cdot 1^{2}+1=4.
Portanto, os novos limites são u=1 a u=4.
Passo 4
Substitua tudo na integral original. A integranda \dfrac{x}{\sqrt{3x^{2}+1}}\,dx vira, usando u e x\,dx=\dfrac{1}{6}du:
Integre em u. Usamos a regra de potências para integrais: para \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq -1. Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{1}{2} e dividir por \tfrac{1}{2} é multiplicar por 2.
Aplicando:
\int u^{-1/2}\,du = 2u^{1/2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{6} que estava fora: