Calcule as integrais abaixo
\int_{1}^{2} \frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{3}+2 x^{2}} d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral
\int_{1}^{2} \frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{3}+2 x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: }\frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{3}+2 x^{2}}.
\text{Limites de integração: }x=1\text{ até }x=2.çãé
Pergunta: encontrar o valor numérico exato da integral definida acima.

Passo 2

Observação inicial (fato útil para simplificar): o denominador pode ser fatorado. Vou factorar x^{3}+2x^{2} para ver a estrutura da fração.
x^{3}+2x^{2}=x^{2}(x+2).
Isso mostra que o denominador é produto de um fator linear repetido (x) de multiplicidade 2 e um fator linear (x+2). Isso sugere decomposição em frações parciais com termos do tipo \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}+\dfrac{C}{x+2}.

Passo 3

Montagem da decomposição em frações parciais. Proponho escrever
\frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{2}(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+2}.
Multiplico ambos os lados por x^{2}(x+2) para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
5x^{2}+3x-2 = A x(x+2) + B(x+2) + C x^{2}.

Passo 4

Vou encontrar A, B e C explorando valores convenientes de x (isso é mais rápido que igualar coeficientes).
  • Tomando x=0 na identidade:
5\cdot0^{2}+3\cdot0-2 = B(0+2)\quad\Rightarrow\quad -2 = 2B \quad\Rightarrow\quad B=-1.
  • Tomando x=-2 na identidade:
5(-2)^{2}+3(-2)-2 = C(-2)^{2}\quad\Rightarrow\quad 20-6-2 = 4C \quad\Rightarrow\quad 12 = 4C \quad\Rightarrow\quad C=3.
  • Com B e C conhecidos, uso coeficiente de x^{2} da identidade: A + C = 5. Assim
A = 5 - C = 5 - 3 = 2.

Passo 5

Substituo os valores encontrados na decomposição. Temos
\frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{2}(x+2)}=\frac{2}{x}+\frac{-1}{x^{2}}+\frac{3}{x+2}.
Ou, de forma mais limpa,
\frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{2}(x+2)}=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x+2}.

Passo 6

Agora integro termo a termo. Lembro as primitivas básicas que vou usar:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • \displaystyle \int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C (porque \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1).
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln|x+2| + C (regra de substituição simples).
    Aplicando a integração aos termos:
\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x+2}\right)dx = 2\ln|x| + \underbrace{\left(-1\right)\cdot\left(-x^{-1}\right)}_{=+x^{-1}} + 3\ln|x+2| + C.
Portanto uma primitiva é
F(x)=2\ln|x|+\frac{1}{x}+3\ln|x+2|.

Passo 7

Avalio a primitiva nos limites 1 e 2 e subtraio:
\int_{1}^{2}\frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{3}+2 x^{2}}\,dx = F(2)-F(1).
Calculo F(2):
F(2)=2\ln 2 + \frac{1}{2} + 3\ln(2+2)=2\ln 2 + \frac{1}{2} + 3\ln 4.
Calculo F(1):
F(1)=2\ln 1 + 1 + 3\ln 3 = 0 + 1 + 3\ln 3.
Subtraindo:
F(2)-F(1)=\left(2\ln 2 + \frac{1}{2} + 3\ln 4\right) - \left(1 + 3\ln 3\right).

Passo 8

Simplifico a expressão com logaritmos e constantes. Primeiro uso \ln 4 = \ln(2^{2}) = 2\ln 2, então
3\ln 4 = 3\cdot 2\ln 2 = 6\ln 2.
Assim os termos com \ln 2 somam:
2\ln 2 + 6\ln 2 = 8\ln 2.
Os termos com \ln 3 ficam -3\ln 3. As constantes dão \dfrac{1}{2}-1 = -\dfrac{1}{2}. Portanto
F(2)-F(1)=8\ln 2 - 3\ln 3 - \frac{1}{2}.
Também posso escrever a parte logarítmica combinada:
8\ln 2 - 3\ln 3 = \ln\!\left(2^{8}\right) - \ln\!\left(3^{3}\right) = \ln\!\left(\frac{256}{27}\right).
Então outra forma equivalente é
\ln\!\left(\frac{256}{27}\right) - \frac{1}{2}.

Resposta

8\ln 2 - 3\ln 3 - \dfrac{1}{2}

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