Calcule as integrais abaixo
\int_{3}^{5} \frac{2}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{3}^{5} \frac{2}{x^{3}}\,dx.
Informações dadas:
\; - Os limites de integração são 3 (inferior) e 5 (superior).
\; - A função a integrar é \frac{2}{x^{3}}.
O que precisamos encontrar: o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a função de forma que fique mais fácil aplicar regras de integração. Note que
\frac{2}{x^{3}} = 2x^{-3}.
Aqui eu só mudei a escrita: x^{-3} significa \frac{1}{x^{3}}. Isso facilita porque usamos a regra do expoente para integrar potências.

Passo 3

Apresentando a regra que vamos usar (a “ferramenta”):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad \text{para } n\neq -1.
Explicação: essa fórmula dá uma primitiva (antiderivada) de x^{n}. A letra n é o expoente; C é uma constante arbitrária (necessária para primitivas indefinidas). No nosso caso temos uma constante multiplicando a potência, e constantes saem da integral:
\int 2x^{-3}\,dx = 2\int x^{-3}\,dx.

Passo 4

Aplicando a regra com n=-3:
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C.
Multiplicando pela constante 2:
2\int x^{-3}\,dx = 2\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + C = -x^{-2} + C.
Portanto uma primitiva é
F(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Comentário: para integrar a função definida (integral com limites) não precisamos do +C final — usamos uma primitiva qualquer para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 5

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{3}^{5} \frac{2}{x^{3}}\,dx = F(5)-F(3),
onde F(x) = -\frac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Calcule F(5) e F(3):
F(5) = -\frac{1}{5^{2}} = -\frac{1}{25},
F(3) = -\frac{1}{3^{2}} = -\frac{1}{9}.
Agora a diferença:
F(5)-F(3) = -\frac{1}{25} - \left(-\frac{1}{9}\right) = -\frac{1}{25} + \frac{1}{9}.
Para somar, uso o denominador comum 225:
-\frac{1}{25} + \frac{1}{9} = -\frac{9}{225} + \frac{25}{225} = \frac{-9+25}{225} = \frac{16}{225}.

Passo 7

Verificação rápida de sentido: \frac{2}{x^{3}}>0 para x>0, logo a integral sobre [3,5] deve ser positiva. Nosso resultado \frac{16}{225} é positivo, então faz sentido.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{225}

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