Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas:
y=-1-x^{2}, y=2 x-4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a área da região limitada pelas curvas y=-1-x^{2} e y=2x-4.\n
Informações dadas:
  • Duas curvas no plano: a parábola y=-1-x^{2} e a reta y=2x-4.\n
  • Precisamos determinar a região fechada por essas duas curvas e calcular sua área.\n
    Pergunta clara: qual é a área da região limitada por essas duas curvas?

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (onde as curvas se cruzam), resolvendo
-1-x^{2}=2x-4.
Reescrever em forma polinomial:
x^{2}+2x-3=0.
Fatorando o polinômio:
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).
Logo as raízes são x=-3 e x=1. Para obter as coordenadas, calculamos y em qualquer uma das curvas (mesmo resultado em ambas, pois são interseção):
  • Para x=1: y=2\cdot1-4=-2. Então ponto (1,-2).
  • Para x=-3: y=2\cdot(-3)-4=-10. Então ponto (-3,-10).

Passo 3

Determinar qual curva fica acima entre x=-3 e x=1. Calculo da diferença:
(2x-4)-(-1-x^{2})=x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3).
Esse produto é negativo quando -3<x<1, ou seja, (2x-4) < (-1-x^{2}) nesse intervalo. Teste rápido em x=0: y_{\text{parábola}}=-1á e y_{\text{reta}}=-4, confirma que a parábola está acima da reta.\n
Portanto, no intervalo de interseção o teto (função superior) é y=-1-x^{2} e a base (função inferior) é y=2x-4.

Passo 4

Fórmula da área entre curvas (com cortes verticais): se duas funções têm ordem fixa no intervalo [a,b], a área é
A=\int_{a}^{b} \big(\text{função superior} - \text{função inferior}\big)\,dx.çãçã
Aqui a=-3 e b=1, então
A=\int_{-3}^{1} \big[(-1-x^{2}) - (2x-4)\big]\,dx.
Racional por trás: cada fatia vertical em x tem altura dada pela diferença das y's; integrar soma essas alturas vezes a largura infinitesimal dx.

Passo 5

Simplificar o integrando:
(-1-x^{2}) - (2x-4) = -1 - x^{2} -2x +4 = 3 -2x - x^{2}.
Então
A=\int_{-3}^{1} (3 -2x - x^{2})\,dx.
Integramos termo a termo. Lembrete de primitiva: para x^{n} com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando:
\int 3\,dx = 3x,\qquad \int -2x\,dx = -x^{2},\qquad \int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.
Portanto uma primitiva para o integrando é
F(x)=3x - x^{2} - \frac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
F(1)=3(1)-1^{2}-\frac{1^{3}}{3}=3-1-\frac{1}{3}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}.
F(-3)=3(-3)-(-3)^{2}-\frac{(-3)^{3}}{3}=-9-9-\frac{-27}{3}=-18+9=-9.
Então a área é
A=F(1)-F(-3)=\frac{5}{3}-(-9)=\frac{5}{3}+9=\frac{5}{3}+\frac{27}{3}=\frac{32}{3}.
A área é positiva, como esperado.

Resposta

\dfrac{32}{3}

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