Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Duas curvas no plano: a parábola
e a reta .\n - Precisamos determinar a região fechada por essas duas curvas e calcular sua área.\n
Pergunta clara: qual é a área da região limitada por essas duas curvas?
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (onde as curvas se cruzam), resolvendo
Reescrever em forma polinomial:
Fatorando o polinômio:
Logo as raízes são
e
. Para obter as coordenadas, calculamos
em qualquer uma das curvas (mesmo resultado em ambas, pois são interseção):
- Para
: . Então ponto . - Para
: . Então ponto .
Passo 3
Determinar qual curva fica acima entre
e
. Calculo da diferença:
Esse produto é negativo quando
, ou seja,
nesse intervalo. Teste rápido em
:
e
, confirma que a parábola está acima da reta.\n
Portanto, no intervalo de interseção o teto (função superior) é e a base (função inferior) é
.
Portanto, no intervalo de interseção o teto (função superior) é
Passo 4
Fórmula da área entre curvas (com cortes verticais): se duas funções têm ordem fixa no intervalo
, a área é
Aqui
e
, então
Racional por trás: cada fatia vertical em
tem altura dada pela diferença das
's; integrar soma essas alturas vezes a largura infinitesimal
.
Passo 5
Simplificar o integrando:
Então
Integramos termo a termo. Lembrete de primitiva: para
com
,
Aplicando:
Portanto uma primitiva para o integrando é
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
Então a área é
A área é positiva, como esperado.