Calcular a área da região sob a curva
no intervalo
.
no intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a área sob essa curva no intervalo
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é
.
- O intervalo de integração é
.
- A área pedida é a integral definida
.
Não vou resolver nada ainda aqui; só deixei claro o que precisamos calcular.
Passo 2
Vamos simplificar o denominador completando o quadrado — isso é uma técnica padrão para integrar funções do tipo
. Mostro como fazer:
Começamos com . Para completar o quadrado, tomamos metade do coeficiente de
(que é
), ou seja
, e escrevemos
Começamos com
Aqui expliquei:
, então subtraímos 9 e somamos 9 para manter igual. Agora
Passo 3
Reescrevendo a integral com essa forma do denominador, temos
Uma forma clara de integrar é fazer a substituição
. Então:
-
. -
. - Quando
, . - Quando
, .
Com isso a integral fica
Passo 4
Agora precisamos saber a primitiva de
. É importante entender por que essa primitiva é a função arco-tangente: a derivada de
é
. Para ver isso rapidamente, lembre que se
então
e usando derivadas implícitas chega-se em
. Portanto
Multiplicando por
, obtemos
Passo 5
Aplicamos a primitiva ao caso com limites
a
:
Agora uso a propriedade de que a função arco-tangente é ímpar:
. Então
Portanto a integral, isto é, a área pedida, é exatamente
.
Passo 6
Uma observação prática para a prova: a forma
é a resposta exata e elegante. Se pedirem valor numérico você pode usar calculadora para
em radianos. Para confirmar que a área é positiva, note que para todo
em
o denominador
, então
; faz sentido a área ser positiva.
Passo 7
Cálculo aproximado (se precisar de número):
(radianos), portanto
Use a sua calculadora da prova (modo radiano) para obter o valor com a precisão exigida.