Calcular a área da região sob a curva
f(x)=\frac{3}{x^{2}-6 x+10}
no intervalo x \in[0,3].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{3}{x^{2}-6x+10} e pede a área sob essa curva no intervalo [0,3].
Informações relevantes que temos:
  • A função é f(x)=\dfrac{3}{x^{2}-6x+10}.
  • O intervalo de integração é x\in[0,3].
  • A área pedida é a integral definida \displaystyle\int_{0}^{3} \dfrac{3}{x^{2}-6x+10}\,dx.

    Não vou resolver nada ainda aqui; só deixei claro o que precisamos calcular.

Passo 2

Vamos simplificar o denominador completando o quadrado — isso é uma técnica padrão para integrar funções do tipo 1/(x^{2}+ \text{constante}). Mostro como fazer:

Começamos com x^{2}-6x+10. Para completar o quadrado, tomamos metade do coeficiente de x (que é -6), ou seja -3, e escrevemos
x^{2}-6x+10=(x-3)^{2}+10-9.
Aqui expliquei: (x-3)^{2}=x^{2}-6x+9, então subtraímos 9 e somamos 9 para manter igual. Agora
x^{2}-6x+10=(x-3)^{2}+1.

Passo 3

Reescrevendo a integral com essa forma do denominador, temos
\int_{0}^{3}\dfrac{3}{x^{2}-6x+10}\,dx=\int_{0}^{3}\dfrac{3}{(x-3)^{2}+1}\,dx.
Uma forma clara de integrar é fazer a substituição u=x-3. Então:
  • u=x-3.
  • du=dx.
  • Quando x=0, u=-3.
  • Quando x=3, u=0.

    Com isso a integral fica
\int_{x=0}^{x=3}\dfrac{3}{(x-3)^{2}+1}\,dx=\int_{u=-3}^{u=0}\dfrac{3}{u^{2}+1}\,du.

Passo 4

Agora precisamos saber a primitiva de \dfrac{1}{u^{2}+1}. É importante entender por que essa primitiva é a função arco-tangente: a derivada de \arctan(u) é \dfrac{1}{1+u^{2}}. Para ver isso rapidamente, lembre que se y=\arctan(u) então u=\tan(y) e usando derivadas implícitas chega-se em \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Portanto
\int \dfrac{1}{u^{2}+1}\,du=\arctan(u)+C.
Multiplicando por 3, obtemos
\int \dfrac{3}{u^{2}+1}\,du=3\arctan(u)+C.

Passo 5

Aplicamos a primitiva ao caso com limites u=-3 a u=0:
\int_{-3}^{0}\dfrac{3}{u^{2}+1}\,du=\left[3\arctan(u)\right]_{u=-3}^{u=0}=3\big(\arctan(0)-\arctan(-3)\big).
Agora uso a propriedade de que a função arco-tangente é ímpar: \arctan(-t)=-\arctan(t). Então
3\big(\arctan(0)-\arctan(-3)\big)=3\big(0-(-\arctan(3))\big)=3\arctan(3).
Portanto a integral, isto é, a área pedida, é exatamente 3\arctan(3).

Passo 6

Uma observação prática para a prova: a forma 3\arctan(3) é a resposta exata e elegante. Se pedirem valor numérico você pode usar calculadora para \arctan(3) em radianos. Para confirmar que a área é positiva, note que para todo x em [0,3] o denominador (x-3)^{2}+1>0, então f(x)>0; faz sentido a área ser positiva.

Passo 7

Cálculo aproximado (se precisar de número): \arctan(3)\approx 1,2490457724 (radianos), portanto
3\arctan(3)\approx 3\cdot 1,2490457724 \approx 3,7471373172.
Use a sua calculadora da prova (modo radiano) para obter o valor com a precisão exigida.

Resposta

3\arctan(3)
\approx 3,7471373172

Exercícios relacionados