Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações fornecidas relevantes:
Informações fornecidas relevantes:
- Os limites de integração são
e . - O integrando é a função racional
, cujo denominador é o produto de dois fatores lineares e . - Não há singularidade nos pontos de integração:
e não anulam nenhum dos fatores do denominador (verificável: , , , ). Portanto a integral é bem definida.
Passo 2
Estratégia principal (explicação didática): quando temos uma fração racional cujo denominador é produto de fatores lineares distintos, é muito prático decompor a função em frações mais simples do tipo
. Isso se chama decomposição em frações parciais. A ideia é transformar a integral em soma de integrais de funções do tipo
, cuja primitiva é direta. Vou aplicar isso aqui.
Passo 3
Escrevendo a decomposição: suponho que existam constantes
e
tais que
Multiplico ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Agora vou expandir o lado direito e comparar coeficientes.
Passo 4
Expansão do lado direito:
Como essa igualdade deve valer para todo
, os coeficientes das potências de
devem ser iguais. Isso gera o sistema linear:
Passo 5
Resolvo o sistema passo a passo. Da segunda equação vem
Substituo na primeira:
Então
Passo 6
Com
e
determinados, a decomposição é
Assim a integral se separa em duas integrais mais simples:
Passo 7
Lembrete de cálculo de primitiva (mini-aula): a primitiva de
é
. Isso vem da substituição
, porque
, logo
.
Aplicando aqui:
- A primitiva de
é . - A primitiva de
é .
Portanto uma primitiva conjunta é
Passo 8
Agora avalio a integral definida usando
. Calculo
e
.
Para
:
Logo
Para
:
Logo
Passo 9
A integral é
. Faço as contas e simplifico logs quando possível:
Como
, temos
. Somando os termos com
:
Portanto