Calcule as integrais abaixo
\int_{-2}^{-1} \frac{2 x}{(x+3)(3 x-1)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\displaystyle \int_{-2}^{-1} \frac{2x}{(x+3)(3x-1)}\,dx.
Informações fornecidas relevantes:
  • Os limites de integração são x=-2 e x=-1.
  • O integrando é a função racional \displaystyle \frac{2x}{(x+3)(3x-1)}, cujo denominador é o produto de dois fatores lineares (x+3) e (3x-1).
  • Não há singularidade nos pontos de integração: x=-2 e x=-1 não anulam nenhum dos fatores do denominador (verificável: -2+3=1\neq0, 3(-2)-1=-7\neq0, -1+3=2\neq0, 3(-1)-1=-4\neq0). Portanto a integral é bem definida.

Passo 2

Estratégia principal (explicação didática): quando temos uma fração racional cujo denominador é produto de fatores lineares distintos, é muito prático decompor a função em frações mais simples do tipo \dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{3x-1}. Isso se chama decomposição em frações parciais. A ideia é transformar a integral em soma de integrais de funções do tipo \dfrac{1}{ax+b}, cuja primitiva é direta. Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Escrevendo a decomposição: suponho que existam constantes A e B tais que
\frac{2x}{(x+3)(3x-1)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{3x-1}.
Multiplico ambos os lados por (x+3)(3x-1) para obter uma identidade polinomial:
2x = A(3x-1) + B(x+3).
Agora vou expandir o lado direito e comparar coeficientes.

Passo 4

Expansão do lado direito:
A(3x-1)+B(x+3) = (3A+B)x + (-A+3B).
Como essa igualdade deve valer para todo x, os coeficientes das potências de x devem ser iguais. Isso gera o sistema linear:
\begin{cases} 3A + B = 2,\\[4pt] - A + 3B = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvo o sistema passo a passo. Da segunda equação vem
- A + 3B = 0 \quad\Rightarrow\quad A = 3B.
Substituo na primeira:
3(3B) + B = 2 \quad\Rightarrow\quad 9B + B = 2 \quad\Rightarrow\quad 10B = 2 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{1}{5}.
Então
A = 3B = 3\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{5}.

Passo 6

Com A e B determinados, a decomposição é
\frac{2x}{(x+3)(3x-1)}=\frac{3/5}{x+3}+\frac{1/5}{3x-1}.
Assim a integral se separa em duas integrais mais simples:
\int_{-2}^{-1}\frac{2x}{(x+3)(3x-1)}\,dx =\int_{-2}^{-1}\frac{3/5}{x+3}\,dx+\int_{-2}^{-1}\frac{1/5}{3x-1}\,dx.

Passo 7

Lembrete de cálculo de primitiva (mini-aula): a primitiva de \dfrac{1}{ax+b} é \dfrac{1}{a}\ln\!\left|ax+b\right|+C. Isso vem da substituição u=ax+b, porque du=a\,dx, logo \int \dfrac{1}{ax+b}\,dx=\int \dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{du}{a}=\dfrac{1}{a}\ln|u|+C.
Aplicando aqui:
  • A primitiva de \dfrac{3/5}{x+3} é \dfrac{3}{5}\ln\!\left|x+3\right|.
  • A primitiva de \dfrac{1/5}{3x-1} é \dfrac{1}{5}\cdot\frac{1}{3}\ln\!\left|3x-1\right|=\dfrac{1}{15}\ln\!\left|3x-1\right|.
Portanto uma primitiva conjunta é
F(x)=\frac{3}{5}\ln\!\left|x+3\right|+\frac{1}{15}\ln\!\left|3x-1\right|.

Passo 8

Agora avalio a integral definida usando F. Calculo F(-1) e F(-2).
Para x=-1:
x+3 = -1+3=2 \quad\Rightarrow\quad \left|x+3\right|=2,
3x-1 = 3(-1)-1=-4 \quad\Rightarrow\quad \left|3x-1\right|=4.
Logo
F(-1)=\frac{3}{5}\ln 2 + \frac{1}{15}\ln 4.
Para x=-2:
x+3 = -2+3=1 \quad\Rightarrow\quad \left|x+3\right|=1,
3x-1 = 3(-2)-1=-7 \quad\Rightarrow\quad \left|3x-1\right|=7.
Logo
F(-2)=\frac{3}{5}\ln 1 + \frac{1}{15}\ln 7 = 0 + \frac{1}{15}\ln 7 = \frac{1}{15}\ln 7.

Passo 9

A integral é F(-1)-F(-2). Faço as contas e simplifico logs quando possível:
\int_{-2}^{-1}\frac{2x}{(x+3)(3x-1)}\,dx = \left(\frac{3}{5}\ln 2 + \frac{1}{15}\ln 4\right) - \frac{1}{15}\ln 7.
Como \ln 4 = 2\ln 2, temos \dfrac{1}{15}\ln 4 = \dfrac{2}{15}\ln 2. Somando os termos com \ln 2:
\frac{3}{5}\ln 2 + \frac{2}{15}\ln 2 = \frac{9}{15}\ln 2 + \frac{2}{15}\ln 2 = \frac{11}{15}\ln 2.
Portanto
\int_{-2}^{-1}\frac{2x}{(x+3)(3x-1)}\,dx = \frac{11}{15}\ln 2 - \frac{1}{15}\ln 7.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{15}\ln 2 - \frac{1}{15}\ln 7

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