Calcule as integrais abaixo
\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{1+\sin x}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função x\mapsto \dfrac{\cos x}{1+\sin x}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=\pi/2.
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Ideia principal (substituição simples): observe que o numerador contém \cos x e o denominador contém \sin x. Isso sugere a substituição
u=\sin x.
Explicação da técnica: quando fazemos u=\sin x, calculamos também a diferencial para transformar dx em du. Derivando ambos os lados obtemos
du=\cos x\,dx.
Ou seja, exatamente \cos x\,dx aparece no integrando — ótimo, isso vai simplificar muito.

Passo 3

Transformação dos limites e da integral com a substituição u=\sin x:
  • Quando x=0 temos u=\sin 0=0.
  • Quando x=\pi/2 temos u=\sin(\pi/2)=1.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{1+\sin x}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} \frac{1}{1+u}\,du.
Aqui eu usei que \cos x\,dx = du e que 1+\sin x = 1+u.

Passo 4

Agora integramos \dfrac{1}{1+u}. Usamos a fórmula básica de primitiva:
\int \frac{1}{a+u}\,du = \ln|a+u| + C,
pois a derivada de \ln|a+u| é \dfrac{1}{a+u}. Aplicando com a=1:
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+u}\,du = \left[ \ln(1+u) \right]_{0}^{1} = \ln(1+1) - \ln(1+0).

Passo 5

Avaliação das expressões logarítmicas:
\ln(1+1)=\ln 2,\qquad \ln(1+0)=\ln 1=0.
Portanto o valor da integral é \ln 2.

Passo 6

Verificação alternativa (útil para prova): multiplicando numerador e denominador por 1-\sin x temos
\frac{\cos x}{1+\sin x}\cdot\frac{1-\sin x}{1-\sin x} = \frac{\cos x(1-\sin x)}{1-\sin^2 x} = \frac{\cos x(1-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1-\sin x}{\cos x} = \operatorname{sec} x - \tan x.
Como \int \operatorname{sec} x\,dx = \ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+C e \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C, obtemos para a primitiva
\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+\ln|\cos x| = \ln\big(|(\operatorname{sec} x+\tan x)\cos x|\big) = \ln(1+\sin x),
que ao avaliar de 0 a \pi/2 também dá \ln 2. Isso confirma o resultado obtido pela substituição.

Resposta

\ln 2

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