Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
e .
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?
Passo 2
Ideia principal (substituição simples): observe que o numerador contém
e o denominador contém
. Isso sugere a substituição
Explicação da técnica: quando fazemos
, calculamos também a diferencial para transformar
em
. Derivando ambos os lados obtemos
Ou seja, exatamente
aparece no integrando — ótimo, isso vai simplificar muito.
Passo 3
Transformação dos limites e da integral com a substituição
:
- Quando
temos . - Quando
temos .
Substituindo na integral:
Aqui eu usei que
e que
.
Passo 4
Agora integramos
. Usamos a fórmula básica de primitiva:
pois a derivada de
é
. Aplicando com
:
Passo 5
Avaliação das expressões logarítmicas:
Portanto o valor da integral é
.
Passo 6
Verificação alternativa (útil para prova): multiplicando numerador e denominador por
temos
Como
e
, obtemos para a primitiva
que ao avaliar de
a
também dá
. Isso confirma o resultado obtido pela substituição.