Calcule as integrais abaixo
\int_{2}^{5} \frac{x-2}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{2}^{5} \frac{x-2}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{x-2}{\sqrt{x}},\qquad \text{limites de integração: }x=2\text{ até }x=5.çãé
Vou trabalhar com álgebra do integrando e a regra de potências para integrar. Nada mais é pedido além do valor dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro simplifico o integrando, escrevendo potências em vez de raiz e separando a fração:
\frac{x-2}{\sqrt{x}}=\frac{x}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}.
Agora uso que \sqrt{x}=x^{1/2} e 1/\sqrt{x}=x^{-1/2}. Então
\frac{x}{\sqrt{x}}=x^{1-\tfrac{1}{2}}=x^{1/2}=\sqrt{x},
e
\frac{2}{\sqrt{x}}=2x^{-1/2}.
Portanto o integrando fica
\frac{x-2}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}-2x^{-1/2}.

Passo 3

Vou usar a regra de potência para integrais: se n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente. Exemplo rápido para fixar: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 4

Aplico a regra termo a termo ao integrando \sqrt{x}-2x^{-1/2}.
Para \sqrt{x}=x^{1/2}:
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Para -2x^{-1/2}:
\int -2x^{-1/2}\,dx=-2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=-2\cdot 2x^{1/2}=-4x^{1/2}.
Logo uma primitiva é
F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-4x^{1/2}.

Passo 5

Agora avalio a primitiva nos extremos e faço F(5)-F(2).
Calculo F(5):
F(5)=\frac{2}{3}\cdot 5^{3/2}-4\cdot 5^{1/2}.
Escrevo 5^{3/2}=5\sqrt{5} e 5^{1/2}=\sqrt{5}:
F(5)=\frac{2}{3}\cdot 5\sqrt{5}-4\sqrt{5}=\sqrt{5}\!\left(\frac{10}{3}-4\right)=\sqrt{5}\!\left(\frac{10-12}{3}\right)=-\frac{2}{3}\sqrt{5}.
Calculo F(2):
F(2)=\frac{2}{3}\cdot 2^{3/2}-4\cdot 2^{1/2}.
Escrevo 2^{3/2}=2\sqrt{2} e 2^{1/2}=\sqrt{2}:
F(2)=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\sqrt{2}\!\left(\frac{4}{3}-4\right)=\sqrt{2}\!\left(\frac{4-12}{3}\right)=-\frac{8}{3}\sqrt{2}.
Agora a integral:
\int_{2}^{5}\frac{x-2}{\sqrt{x}}\,dx=F(5)-F(2)=-\frac{2}{3}\sqrt{5}-\left(-\frac{8}{3}\sqrt{2}\right)=\frac{8}{3}\sqrt{2}-\frac{2}{3}\sqrt{5}.

Passo 6

Faço uma fatoração comum para deixar mais bonito (opcional):
\frac{8}{3}\sqrt{2}-\frac{2}{3}\sqrt{5}=\frac{1}{3}\big(8\sqrt{2}-2\sqrt{5}\big)=\frac{2}{3}\big(4\sqrt{2}-\sqrt{5}\big).

Resposta

\dfrac{8\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3}

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