Calcule as integrais abaixo:
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{integrando: }\frac{1}{\sqrt{2-x}},\qquad \text{intervalo: }(-\infty,-1].
Observação importante (dados do enunciado): o limite inferior é -\infty, portanto a integral é imprópria por comportamento no infinito; o integrando está bem definido para x\le 2, então não há singularidade no ponto x=-1.

Passo 2

Definição prática da integral imprópria que vamos usar: dizemos
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{-1}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx,
ou seja, substituímos o infinito por uma variável a que tende a -\infty e calculamos o limite do integral propriamente dito. Essa é a maneira padrão de transformar uma integral sobre (-\infty,-1] numa família de integrais definidas.

Passo 3

Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável
u=2-x.
Explico o porquê: o integrando envolve \sqrt{2-x}, então escolher u=2-x transforma a raiz numa potência simples de u. Calculamos também o diferencial:
du=-dx\quad\Rightarrow\quad dx=-du.
Agora trocamos os limites: quando x=a com a\to -\infty, temos u=2-a\to+\infty. Quando x=-1, temos u=2-(-1)=3. Substituindo tudo na integral com o limite em a, obtemos
\int_{a}^{-1}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx=\int_{u=2-a}^{u=3}\frac{1}{\sqrt{u}}(-du).
Trocando a ordem dos limites para eliminar o sinal negativo:
\int_{2-a}^{3}\frac{1}{\sqrt{u}}(-du)=\int_{3}^{2-a}\frac{1}{\sqrt{u}}\,du.

Passo 4

Reescrevemos a integral em termos de u e o limite a\to -\infty. Como 2-a\to+\infty, temos
\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx=\lim_{R\to+\infty}\int_{3}^{R} u^{-1/2}\,du,
onde substituímos R=2-a e fazemos R\to+\infty. Agora aplicamos a regra de potência para primitiva: para \alpha\neq -1,
\int u^{\alpha}\,du=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2}, então \alpha+1=\tfrac{1}{2} e a primitiva é
\int u^{-1/2}\,du=2u^{1/2}+C=2\sqrt{u}+C.

Passo 5

Calculamos a integral definida de 3 a R e então tomamos R\to+\infty:
\int_{3}^{R} u^{-1/2}\,du=\big[2\sqrt{u}\,\big]_{3}^{R}=2\sqrt{R}-2\sqrt{3}.
Agora o limite quando R\to+\infty é
\lim_{R\to+\infty}\big(2\sqrt{R}-2\sqrt{3}\big)=+\infty,
pois \sqrt{R}\to+\infty. Portanto a integral imprópria diverge (não converge para um número finito).

Passo 6

Comentário intuitivo/alternativo (útil para a prova): para x\to -\infty temos 2-x\sim -x, então o integrando se comporta como |x|^{-1/2}. A regra-p (teste de p- série contínua) diz que \int_{M}^{\infty} x^{-p}\,dx converge só se p>1. Aqui efetivamente p=\tfrac{1}{2}<1, logo diverge — conclusão consistente com a conta anterior.

Resposta

A integral diverge para +\infty.

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