Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação importante (dados do enunciado): o limite inferior é
, portanto a integral é imprópria por comportamento no infinito; o integrando está bem definido para
, então não há singularidade no ponto
.
Passo 2
Definição prática da integral imprópria que vamos usar: dizemos
ou seja, substituímos o infinito por uma variável
que tende a
e calculamos o limite do integral propriamente dito. Essa é a maneira padrão de transformar uma integral sobre
numa família de integrais definidas.
Passo 3
Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável
Explico o porquê: o integrando envolve
, então escolher
transforma a raiz numa potência simples de
. Calculamos também o diferencial:
Agora trocamos os limites: quando
com
, temos
. Quando
, temos
. Substituindo tudo na integral com o limite em
, obtemos
Trocando a ordem dos limites para eliminar o sinal negativo:
Passo 4
Reescrevemos a integral em termos de
e o limite
. Como
, temos
onde substituímos
e fazemos
. Agora aplicamos a regra de potência para primitiva: para
,
Aqui
, então
e a primitiva é
Passo 5
Calculamos a integral definida de
a
e então tomamos
:
Agora o limite quando
é
pois
. Portanto a integral imprópria diverge (não converge para um número finito).
Passo 6
Comentário intuitivo/alternativo (útil para a prova): para
temos
, então o integrando se comporta como
. A regra-p (teste de p- série contínua) diz que
converge só se
. Aqui efetivamente
, logo diverge — conclusão consistente com a conta anterior.
Resposta
A integral diverge para
.