Calcule as integrais abaixo
’
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações dadas:
O objetivo é obter um número (o valor da integral definida) usando apenas os dados acima.
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem complicar): aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que, para funções contínuas, se
é uma primitiva de
(ou seja,
), então
Portanto preciso encontrar uma primitiva
de
e depois calcular
.
Passo 3
Regras úteis (explicadinhas):
- Linearidade da integral:
e , onde é constante. Vou usar isso para separar . - Regra da potência (primitiva): para
,
onde
é constante de integração. Aqui vou aplicar com
e
.
Passo 4
Calcular a primitiva passo a passo:
Primeiro separo usando linearidade:
Primeiro separo usando linearidade:
Agora uso a regra da potência:
Multiplicando por
no segundo termo:
Assim uma primitiva (união das constantes irrelevantes para integral definida) é
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular
e
e subtrair.
Calculemos :
Calculemos
Calculemos
:
Agora a integral definida vale
Passo 6
Checagem rápida (intuitiva): note que
é função ímpar (pois
). A integral de uma função ímpar em intervalo simétrico
é zero. Então
logo o valor da integral é igual à integral de
de
a
. Se calcularmos essa integral rapidamente também dá
, confirmando o resultado anterior.