Calcule as integrais abaixo
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2 x\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }x^{3}-2x, \qquad \text{limites de integração: }a=-1,\;b=2.çã
O objetivo é obter um número (o valor da integral definida) usando apenas os dados acima.

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem complicar): aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que, para funções contínuas, se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Portanto preciso encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=x^{3}-2x e depois calcular F(2)-F(-1).

Passo 3

Regras úteis (explicadinhas):
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int (g(x)+h(x))\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx e \displaystyle \int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx, onde c é constante. Vou usar isso para separar x^{3}-2x.
  • Regra da potência (primitiva): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é constante de integração. Aqui vou aplicar com n=3 e n=1.

Passo 4

Calcular a primitiva passo a passo:
Primeiro separo usando linearidade:
\int\left(x^{3}-2x\right)\,dx = \int x^{3}\,dx - 2\int x\,dx.
Agora uso a regra da potência:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}+C_1, \qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C_2.
Multiplicando por -2 no segundo termo:
-2\int x\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2}.
Assim uma primitiva (união das constantes irrelevantes para integral definida) é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-x^{2}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular F(2) e F(-1) e subtrair.
Calculemos F(2):
F(2)=\frac{2^{4}}{4}-2^{2}=\frac{16}{4}-4=4-4=0.
Calculemos F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{4}}{4}-(-1)^{2}=\frac{1}{4}-1=\frac{1}{4}-\frac{4}{4}=-\frac{3}{4}.
Agora a integral definida vale
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx = F(2)-F(-1)=0-\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}.

Passo 6

Checagem rápida (intuitiva): note que x^{3}-2x é função ímpar (pois f(-x)=-f(x)). A integral de uma função ímpar em intervalo simétrico [-1,1] é zero. Então
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{2} f(x)\,dx = 0 + \int_{1}^{2} f(x)\,dx,
logo o valor da integral é igual à integral de f de 1 a 2. Se calcularmos essa integral rapidamente também dá \tfrac{3}{4}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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