Calcule as integrais abaixo
\int_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} \operatorname{sen} x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \operatorname{sen}x\cos x\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\operatorname{sen}x\cos x,\qquad\text{limites: }x=\pi/4\text{ a }x=3\pi/4.
Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica muito útil aqui é a fórmula do ângulo duplo para seno:
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Dessa fórmula segue que
\sin x\cos x = \tfrac{1}{2}\sin 2x.
Explicação curta: a fórmula \sin 2x=2\sin x\cos x é obtida a partir das fórmulas trigonométricas básicas (pode-se memorizar). Aqui usamos essa igualdade para transformar o produto \sin x\cos x numa função simples \sin 2x, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Usando a identidade, rewrite a integral como:
\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin x\cos x\,dx = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \tfrac{1}{2}\sin 2x\,dx.
Posso tirar a constante \tfrac{1}{2} para fora da integral:
= \tfrac{1}{2}\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin 2x\,dx.

Passo 4

Agora precisamos da primitiva de \sin 2x. Em geral, para k\neq0,
\int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C.
Aqui k=2, então
\int \sin 2x\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos 2x + C.
Portanto a integral definida vale
\tfrac{1}{2}\left[-\tfrac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} = -\tfrac{1}{4}\left[\cos 2x\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}.

Passo 5

Calcule os cossenos nos limites usando a circunferência trigonométrica:
2\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{2},\qquad 2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
Sabemos que \cos\frac{3\pi}{2}=0 e \cos\frac{\pi}{2}=0 (ambos correspondem aos pontos no eixo y da circunferência unitária). Então
-\tfrac{1}{4}\big(\cos(3\pi/2)-\cos(\pi/2)\big) = -\tfrac{1}{4}(0-0)=0.

Passo 6

Conclusão pela primeira abordagem: a integral é 0. Vou mostrar um método alternativo (substituição) como checagem, porque às vezes ver dois caminhos dá segurança na prova.

Passo 7

Método alternativo (substituição): faça u=\sin x. Então du=\cos x\,dx. A integral fica
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin x\cos x\,dx = \int_{u(\pi/4)}^{u(3\pi/4)} u\,du.
Calcule os limites: u(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e u(3\pi/4)=\sin(3\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} (note que os dois são iguais). Então
\int_{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} u\,du = \frac{1}{2}u^2\Big|_{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{2}\Big(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\Big)=0.
Isso confirma o resultado anterior.

Passo 8

Interpretação rápida: geometricamente, como a substituição mostrou, os valores de \sin x nos dois limites são iguais, então a integral de u\,du entre os mesmos limites é zero — é um jeito intuitivo de ver por que deu zero. Bom trabalho por seguir até aqui — você conseguiu checar de duas formas!

Resposta

0

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