\text{integrando: }\operatorname{sen}x\cos x,\qquad\text{limites: }x=\pi/4\text{ a }x=3\pi/4.
Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica muito útil aqui é a fórmula do ângulo duplo para seno:
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Dessa fórmula segue que
\sin x\cos x = \tfrac{1}{2}\sin 2x.
Explicação curta: a fórmula \sin 2x=2\sin x\cos x é obtida a partir das fórmulas trigonométricas básicas (pode-se memorizar). Aqui usamos essa igualdade para transformar o produto \sin x\cos x numa função simples \sin 2x, que é mais fácil de integrar.
Conclusão pela primeira abordagem: a integral é 0. Vou mostrar um método alternativo (substituição) como checagem, porque às vezes ver dois caminhos dá segurança na prova.
Passo 7
Método alternativo (substituição): faça u=\sin x. Então du=\cos x\,dx. A integral fica
Interpretação rápida: geometricamente, como a substituição mostrou, os valores de \sin x nos dois limites são iguais, então a integral de u\,du entre os mesmos limites é zero — é um jeito intuitivo de ver por que deu zero. Bom trabalho por seguir até aqui — você conseguiu checar de duas formas!