Calcule as integrais abaixo
\int \operatorname{sen}(x) \cos (x)(\cos (2 x))^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}(x)\cos(x)\big(\cos(2x)\big)^{3}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é o produto de \operatorname{sen}(x), \cos(x) e \big(\cos(2x)\big)^{3}.
  • Devemos encontrar uma antiderivada (uma primitiva) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja o integrando.
  • Não há limites de integração, então a resposta deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Observação útil (identidade trigonométrica que simplifica o integrando):
Vamos usar a identidade que relaciona \operatorname{sen}(x)\cos(x) com \operatorname{sen}(2x). A identidade é
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x).
Isto significa que
\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).
Explico: a função \operatorname{sen}(2x) é definida como \operatorname{sen}(2x)=\operatorname{sen}(x+x) e, usando fórmulas de soma de ângulos, chega-se à expressão acima. Essa substituição costuma simplificar produtos de seno e cosseno.

Passo 3

Reescrevendo o integrando com a identidade:
Substituímos \operatorname{sen}(x)\cos(x) por \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x). Assim a integral fica
\int \operatorname{sen}(x)\cos(x)\big(\cos(2x)\big)^{3}\,dx = \int \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)\big(\cos(2x)\big)^{3}\,dx.
Colocando fator comum:
= \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2x)\big(\cos(2x)\big)^{3}\,dx.
Isso já simplifica porque agora tudo está em função de 2x: temos \operatorname{sen}(2x) e \cos(2x).

Passo 4

Escolha de substituição (mudança de variável):
Uma boa escolha é definir uma nova variável que seja \cos(2x), porque a derivada de \cos(2x) envolve \operatorname{sen}(2x), o que aparece no integrando. Definimos
u=\cos(2x).
Agora calculamos du. Pela regra da cadeia para derivadas:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\operatorname{sen}(2x).
Isto implica
du=-2\operatorname{sen}(2x)\,dx \quad\text{ou}\quad \operatorname{sen}(2x)\,dx=-\tfrac{1}{2}\,du.
Explico: quando derivamos \cos(2x) aplicamos a derivada do cosseno, que é -\operatorname{sen}, e multiplicamos pela derivada interna 2. Reorganizando, isolamos \operatorname{sen}(2x)\,dx que aparece na integral.

Passo 5

Substituindo na integral em termos de u:
Lembrando que tínhamos
\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2x)\big(\cos(2x)\big)^{3}\,dx,
substituímos \operatorname{sen}(2x)\,dx por -\tfrac{1}{2}\,du e \cos(2x) por u. Assim:
\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2x)\big(\cos(2x)\big)^{3}\,dx = \tfrac{1}{2}\int \big(u^{3}\big)\big(\operatorname{sen}(2x)\,dx\big) = \tfrac{1}{2}\int u^{3}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right).
Colocando constantes fora da integral:
= \tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\int u^{3}\,du = -\tfrac{1}{4}\int u^{3}\,du.

Passo 6

Integral em u (cálculo direto):
Agora integramos um polinômio simples. A integral de u^{3} em relação a u é \tfrac{u^{4}}{4}, porque a regra é \int u^{n}\,du=\tfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Portanto:
-\tfrac{1}{4}\int u^{3}\,du = -\tfrac{1}{4}\cdot\frac{u^{4}}{4} + C = -\tfrac{1}{16}u^{4} + C.
Aqui C é a constante de integração.

Passo 7

Voltar para a variável original x:
Lembrando que u=\cos(2x), substituímos de volta:
-\tfrac{1}{16}u^{4}+C = -\tfrac{1}{16}\big(\cos(2x)\big)^{4}+C.
Pronto: esta é uma antiderivada do integrando dado.

Passo 8

Verificação rápida (checagem por diferenciação):
Para ganhar confiança, podemos derivar a resposta para ver se recuperamos o integrando. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[-\tfrac{1}{16}\big(\cos(2x)\big)^{4}\right] = -\tfrac{1}{16}\cdot 4\big(\cos(2x)\big)^{3}\cdot\frac{d}{dx}\cos(2x) = -\tfrac{1}{4}\big(\cos(2x)\big)^{3}\cdot(-2\operatorname{sen}(2x))
= \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)\big(\cos(2x)\big)^{3} = \operatorname{sen}(x)\cos(x)\big(\cos(2x)\big)^{3},
onde no último passo usamos \operatorname{sen}(x)\cos(x)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x). A derivada bate com o integrando, confirmação de que a primitiva está correta.

Resposta

-\tfrac{1}{16}\big(\cos(2x)\big)^{4}+C

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