Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é o produto de
, e . - Devemos encontrar uma antiderivada (uma primitiva) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja o integrando.
- Não há limites de integração, então a resposta deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Observação útil (identidade trigonométrica que simplifica o integrando):
Vamos usar a identidade que relaciona com
. A identidade é
Vamos usar a identidade que relaciona
Isto significa que
Explico: a função
é definida como
e, usando fórmulas de soma de ângulos, chega-se à expressão acima. Essa substituição costuma simplificar produtos de seno e cosseno.
Passo 3
Reescrevendo o integrando com a identidade:
Substituímos por
. Assim a integral fica
Substituímos
Colocando fator comum:
Isso já simplifica porque agora tudo está em função de
: temos
e
.
Passo 4
Escolha de substituição (mudança de variável):
Uma boa escolha é definir uma nova variável que seja , porque a derivada de
envolve
, o que aparece no integrando. Definimos
Uma boa escolha é definir uma nova variável que seja
Agora calculamos
. Pela regra da cadeia para derivadas:
Isto implica
Explico: quando derivamos
aplicamos a derivada do cosseno, que é
, e multiplicamos pela derivada interna
. Reorganizando, isolamos
que aparece na integral.
Passo 5
Substituindo na integral em termos de
:
Lembrando que tínhamos
Lembrando que tínhamos
substituímos
por
e
por
. Assim:
Colocando constantes fora da integral:
Passo 6
Integral em
(cálculo direto):
Agora integramos um polinômio simples. A integral de em relação a
é
, porque a regra é
para
. Portanto:
Agora integramos um polinômio simples. A integral de
Aqui
é a constante de integração.
Passo 7
Voltar para a variável original
:
Lembrando que , substituímos de volta:
Lembrando que
Pronto: esta é uma antiderivada do integrando dado.
Passo 8
Verificação rápida (checagem por diferenciação):
Para ganhar confiança, podemos derivar a resposta para ver se recuperamos o integrando. Usando a regra da cadeia:
Para ganhar confiança, podemos derivar a resposta para ver se recuperamos o integrando. Usando a regra da cadeia:
onde no último passo usamos
. A derivada bate com o integrando, confirmação de que a primitiva está correta.