Calcule as integrais abaixo
\int \frac{x-4}{(x-2)(x-3)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x-4}{(x-2)(x-3)}\,dx.
Informações dadas que são relevantes:
\text{numerador: }x-4,\qquad\text{denominador: }(x-2)(x-3).
O denominador está factorizado em dois fatores lineares distintos (x-2) e (x-3). A integral é de uma função racional (fração de polinômios) com grau do numerador igual a 1 e grau do denominador igual a 2.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): quando temos uma função racional cujo denominador é produto de fatores lineares distintos e o grau do numerador é menor que o do denominador, a técnica padrão é a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever a fração como soma de frações mais simples do tipo \dfrac{A}{x-2} e \dfrac{B}{x-3}, porque a integral de \dfrac{1}{x-a} é conhecida e simples. Vou aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais com constantes desconhecidas A e B:
\frac{x-4}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.
Agora colocamos no mesmo denominador e igualamos numeradores:
\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}=\frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}.
Portanto devemos ter (igualando numeradores)
x-4=A(x-3)+B(x-2).
Vou expandir o lado direito para comparar coeficientes:
A(x-3)+B(x-2)=Ax-3A+Bx-2B=(A+B)x+(-3A-2B).

Passo 4

Igualando coeficientes do polinômio (A+B)x+(-3A-2B)\) com \(x-4\), obtemos o sistema linear \[\begin{cases} 1 = A + B,\\[4pt] -4 = -3A -2B. \end{cases}
Vou resolver esse sistema. Da primeira equação temos A=1-B\]. Substituindo na segunda: \[-4=-3(1-B)-2B=-3+3B-2B=-3+B.\] Assim \(B=-1. Então A=1-B=1-(-1)=2.]

Passo 5

Com A=2 e B=-1, a decomposição fica
\frac{x-4}{(x-2)(x-3)}=\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-3}.
Portanto a integral se escreve como soma de integrais simples:
\int \frac{x-4}{(x-2)(x-3)}\,dx=\int\frac{2}{x-2}\,dx-\int\frac{1}{x-3}\,dx.

Passo 6

Regra de integração usada (explicação didática): a integral direta que usamos é
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Se uma constante k multiplica a função, ela sai da integral:
\int \frac{k}{x-a}\,dx=k\ln|x-a|+C.
Aplicando isso aos termos que temos:
\int\frac{2}{x-2}\,dx=2\ln|x-2|+C_1,
\int\frac{1}{x-3}\,dx=\ln|x-3|+C_2.
Subtraindo e juntando as constantes (uma única constante C), obtemos
\int \frac{x-4}{(x-2)(x-3)}\,dx=2\ln|x-2|-\ln|x-3|+C.

Passo 7

(Verificação rápida — útil na prova) Posso verificar derivando o resultado para checar se volto à integranda. Derivando
\frac{d}{dx}\big(2\ln|x-2|-\ln|x-3|\big)=\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-3}=\frac{2(x-3)-(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x-4}{(x-2)(x-3)},
o que coincide com a integranda; portanto a antiderivada está correta.

Resposta

2\ln|x-2|-\ln|x-3|+C

Exercícios relacionados