Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas que são relevantes:
O denominador está factorizado em dois fatores lineares distintos
e
. A integral é de uma função racional (fração de polinômios) com grau do numerador igual a
e grau do denominador igual a
.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): quando temos uma função racional cujo denominador é produto de fatores lineares distintos e o grau do numerador é menor que o do denominador, a técnica padrão é a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever a fração como soma de frações mais simples do tipo
e
, porque a integral de
é conhecida e simples. Vou aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 3
Escrevemos a decomposição em frações parciais com constantes desconhecidas
e
:
Agora colocamos no mesmo denominador e igualamos numeradores:
Portanto devemos ter (igualando numeradores)
Vou expandir o lado direito para comparar coeficientes:
Passo 4
Igualando coeficientes do polinômio
Vou resolver esse sistema. Da primeira equação temos
. Então
.]
Passo 5
Com
e
, a decomposição fica
Portanto a integral se escreve como soma de integrais simples:
Passo 6
Regra de integração usada (explicação didática): a integral direta que usamos é
porque a derivada de
é
. Se uma constante
multiplica a função, ela sai da integral:
Aplicando isso aos termos que temos:
Subtraindo e juntando as constantes (uma única constante
), obtemos
Passo 7
(Verificação rápida — útil na prova) Posso verificar derivando o resultado para checar se volto à integranda. Derivando
o que coincide com a integranda; portanto a antiderivada está correta.