Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
a . - Queremos o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar uma substituição simples que elimina a raiz quadrada
. Uma substituição natural é definir uma nova variável que apareça dentro da raiz. Vou escolher
Explico por quê: ao fazer
a raiz vira
e poderemos expressar
em termos de
e
. Essa é uma técnica padrão para integrais com
.
Passo 3
Calculemos a diferencial e expresse
em função de
. Diferenciando
obtemos
Daí
Além disso, de
segue
Também atualizamos os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 4
Reescrevendo o integrando
usando
:
Portanto a integral original fica (com os novos limites
a
):
Passo 5
Tire o sinal negativo invertendo os limites de integração:
Agora expandimos o produto dentro da integral:
logo
Passo 6
Integração por regra da potência: para
vale
Aqui usaremos essa fórmula com
e
. Calculando as primitivas:
Portanto a integral definida é
Passo 7
Avalie a expressão nos extremos
e
. Primeiro no ponto
:
No ponto
ambas as parcelas são zero. Então a integral vale a diferença acima.
Passo 8
Simplifique a expressão:
Calcule a diferença: