Calcule as integrais abaixo
\int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1-x^{2}}\, dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x^{3}\sqrt{1-x^{2}}.
  • Os limites de integração são x=0 a x=1.
  • Queremos o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar uma substituição simples que elimina a raiz quadrada \sqrt{1-x^{2}}. Uma substituição natural é definir uma nova variável que apareça dentro da raiz. Vou escolher
u = 1 - x^{2}.
Explico por quê: ao fazer u=1-x^{2} a raiz vira \sqrt{u} e poderemos expressar x^{3}dx em termos de u e du. Essa é uma técnica padrão para integrais com \sqrt{a - x^{2}}.

Passo 3

Calculemos a diferencial e expresse x^{2} em função de u. Diferenciando u=1-x^{2} obtemos
du = -2x\,dx.
Daí
x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Além disso, de u=1-x^{2} segue
x^{2} = 1 - u.
Também atualizamos os limites: quando x=0 temos u = 1-0^{2} = 1; quando x=1 temos u = 1-1^{2} = 0.

Passo 4

Reescrevendo o integrando x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\,dx usando u:
x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = x^{2}\cdot x\,\sqrt{u}\,dx = (1-u)\cdot \sqrt{u}\cdot\left(-\frac{1}{2}\,du\right).
Portanto a integral original fica (com os novos limites u=1 a u=0):
\int_{0}^{1} x^{3}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=0} -\frac{1}{2}(1-u)u^{1/2}\,du.

Passo 5

Tire o sinal negativo invertendo os limites de integração:
\int_{u=1}^{u=0} -\frac{1}{2}(1-u)u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\int_{u=0}^{u=1} (1-u)u^{1/2}\,du.
Agora expandimos o produto dentro da integral:
(1-u)u^{1/2} = u^{1/2} - u^{3/2},
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\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-u)u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\bigl(u^{1/2} - u^{3/2}\bigr)\,du.

Passo 6

Integração por regra da potência: para n\neq -1 vale
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui usaremos essa fórmula com n=\tfrac{1}{2} e n=\tfrac{3}{2}. Calculando as primitivas:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2},
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}.
Portanto a integral definida é
\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2}\right]_{0}^{1}.

Passo 7

Avalie a expressão nos extremos u=1 e u=0. Primeiro no ponto u=1:
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2} - \frac{2}{5}\cdot 1^{5/2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}\right).
No ponto u=0 ambas as parcelas são zero. Então a integral vale a diferença acima.

Passo 8

Simplifique a expressão:
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}\right) = \frac{1}{2}\cdot 2\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right).
Calcule a diferença:
\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15}.

Resposta

\frac{2}{15}

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