Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Temos os fatores
e . - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função em termos de
. - Não há outras condições (como intervalo), então apresentaremos a primitiva geral com constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando e escolha da técnica (explicação didática):
- Quando temos potências de seno e cosseno, uma técnica muito útil é aproveitar uma das funções para fazer substituição. Em particular, se uma das potências é ímpar, podemos separar um fator simples dessa função e converter o resto em função da outra usando a identidade pitagórica.
- A identidade pitagórica é
que permite escrever
ou
.
- Aqui ambas as potências são impares (
e ). Vou escolher guardar um fator para usar a substituição , porque então . Essa escolha simplifica porque teremos exatamente para trocar por .
Passo 3
Reescrever o integrando separando um fator
e convertendo o restante usando a identidade:
- Escrevemos
- Usando
, temos . - Portanto o integrando fica
Passo 4
Fazer a substituição
. Explicação da substituição:
- Definimos
. Então , ou seja . - Substituindo na integral anterior obtemos (substituindo
e ):
- Colocando o sinal negativo na frente:
Passo 5
Expandir o polinômio para integrar termo a termo:
- Primeiro expandimos
:
- Multiplicando por
:
- Então a integral em
é
Passo 6
Integrar termo a termo (lembrando a fórmula básica):
- Fórmula usada: para
, . Aqui é inteiro positivo nos nossos termos. - Aplicando termo a termo:
- Somando os resultados:
Passo 7
Voltar à variável
substituindo
e apresentar a primitiva final:
- Substituindo
obtemos a antiderivada em :
- Podemos, se quisermos, fatorar
para uma forma alternativa:
mas a forma expandida anterior já é clara e suficiente.