Calcule as integrais abaixo
\int \operatorname{sen}^{5}(x) \cos ^{5}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{5}(x)\cos^{5}(x)\,dx.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Temos os fatores \operatorname{sen}^{5}(x) e \cos^{5}(x).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função em termos de x.
  • Não há outras condições (como intervalo), então apresentaremos a primitiva geral com constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando e escolha da técnica (explicação didática):
  • Quando temos potências de seno e cosseno, uma técnica muito útil é aproveitar uma das funções para fazer substituição. Em particular, se uma das potências é ímpar, podemos separar um fator simples dessa função e converter o resto em função da outra usando a identidade pitagórica.
  • A identidade pitagórica é
\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1,
que permite escrever \sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x) ou \cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x).
  • Aqui ambas as potências são impares ( 5 e 5). Vou escolher guardar um fator \sin(x) para usar a substituição u=\cos(x), porque então du=-\sin(x)\,dx. Essa escolha simplifica porque teremos exatamente \sin(x)\,dx para trocar por -du.

Passo 3

Reescrever o integrando separando um fator \sin(x)\,dx e convertendo o restante usando a identidade:
  • Escrevemos
\operatorname{sen}^{5}(x)\cos^{5}(x)=\big(\operatorname{sen}^{4}(x)\cos^{5}(x)\big)\operatorname{sen}(x).
  • Usando \operatorname{sen}^{2}(x)=1-\cos^{2}(x), temos \operatorname{sen}^{4}(x)=(\operatorname{sen}^{2}(x))^{2}=(1-\cos^{2}(x))^{2}.
  • Portanto o integrando fica
\operatorname{sen}^{5}(x)\cos^{5}(x)\,dx = (1-\cos^{2}(x))^{2}\cos^{5}(x)\,\operatorname{sen}(x)\,dx.

Passo 4

Fazer a substituição u=\cos(x). Explicação da substituição:
  • Definimos u=\cos(x). Então du=-\sin(x)\,dx, ou seja \sin(x)\,dx=-du.
  • Substituindo na integral anterior obtemos (substituindo \cos(x)=u e \sin(x)\,dx=-du):
\int (1-\cos^{2}(x))^{2}\cos^{5}(x)\,\sin(x)\,dx = \int (1-u^{2})^{2}u^{5}(-du).
  • Colocando o sinal negativo na frente:
= -\int (1-u^{2})^{2}u^{5}\,du.

Passo 5

Expandir o polinômio para integrar termo a termo:
  • Primeiro expandimos (1-u^{2})^{2}:
(1-u^{2})^{2}=1-2u^{2}+u^{4}.
  • Multiplicando por u^{5}:
(1-u^{2})^{2}u^{5}=u^{5}-2u^{7}+u^{9}.
  • Então a integral em u é
- \int (u^{5}-2u^{7}+u^{9})\,du = \int (-u^{5}+2u^{7}-u^{9})\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo (lembrando a fórmula básica):
  • Fórmula usada: para n\neq -1, \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n é inteiro positivo nos nossos termos.
  • Aplicando termo a termo:
\int -u^{5}\,du = -\frac{u^{6}}{6},\qquad \int 2u^{7}\,du = 2\cdot\frac{u^{8}}{8}=\frac{u^{8}}{4},\qquad \int -u^{9}\,du = -\frac{u^{10}}{10}.
  • Somando os resultados:
-\frac{u^{6}}{6}+\frac{u^{8}}{4}-\frac{u^{10}}{10}+C.

Passo 7

Voltar à variável x substituindo u=\cos(x) e apresentar a primitiva final:
  • Substituindo u=\cos(x) obtemos a antiderivada em x:
-\frac{\cos^{6}(x)}{6}+\frac{\cos^{8}(x)}{4}-\frac{\cos^{10}(x)}{10}+C.
  • Podemos, se quisermos, fatorar \cos^{6}(x) para uma forma alternativa:
\cos^{6}(x)\!\left(-\frac{1}{6}+\frac{\cos^{2}(x)}{4}-\frac{\cos^{4}(x)}{10}\right)+C,
mas a forma expandida anterior já é clara e suficiente.

Resposta

-\frac{\cos^{6}(x)}{6}+\frac{\cos^{8}(x)}{4}-\frac{\cos^{10}(x)}{10}+C

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