Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função racional — ou seja, um
tal que
.
Passo 2
Observação útil (sem resolver ainda): o denominador é um quadrado perfeito. Vou mostrar isso:
Uma técnica simples quando aparece
é fazer a substituição
ou reescrever todo em função de
. Vou usar
, porque isso transforma o denominador em
e simplifica a integral. Logo,
Passo 3
Reescrevo o numerador em função de
. Como
, temos:
Faço as contas passo a passo:
somando:
Portanto a integral fica (substituindo
):
Passo 4
Divido termo a termo a fração para simplificar antes de integrar:
Agora integrarei termo a termo. Lembrando as regras básicas de integração que vou usar:
Exemplos curtos para fixar:
;
.
Passo 5
Integro cada termo de
:
Somando as partes, a primitiva em função de
é
Passo 6
Volto à variável original
usando
. Substituindo:
Passo 7
Verificação rápida (apenas para garantir que não cometi erro): derivando
e como
(visto nos passos acima), a primitiva está correta.