Calcule as integrais abaixo
\int \frac{x^{2}-x+2}{x^{2}+2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-x+2}{x^{2}+2x+1}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{numerador} = x^{2}-x+2,\qquad \text{denominador} = x^{2}+2x+1.
A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função racional — ou seja, um F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}-x+2}{x^{2}+2x+1}.

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): o denominador é um quadrado perfeito. Vou mostrar isso:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Uma técnica simples quando aparece (x+1)^{2} é fazer a substituição u=x+1 ou reescrever todo em função de u. Vou usar u=x+1, porque isso transforma o denominador em u^{2} e simplifica a integral. Logo,
u=x+1\quad\Rightarrow\quad du=dx.

Passo 3

Reescrevo o numerador em função de u. Como x=u-1, temos:
x^{2}-x+2=(u-1)^{2}-(u-1)+2.
Faço as contas passo a passo:
(u-1)^{2}=u^{2}-2u+1,
-(u-1)=-u+1,
somando:
u^{2}-2u+1 -u+1 +2 = u^{2}-3u+4.
Portanto a integral fica (substituindo dx=du):
\int \frac{u^{2}-3u+4}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Divido termo a termo a fração para simplificar antes de integrar:
\frac{u^{2}-3u+4}{u^{2}} = \frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{3u}{u^{2}} + \frac{4}{u^{2}} = 1 - \frac{3}{u} + \frac{4}{u^{2}}.
Agora integrarei termo a termo. Lembrando as regras básicas de integração que vou usar:
\text{(i)}\quad \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1,
\text{(ii)}\quad \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.
Exemplos curtos para fixar: \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}+C; \int u^{0}\,du = \int 1\,du = u + C.

Passo 5

Integro cada termo de 1 - \dfrac{3}{u} + \dfrac{4}{u^{2}}:
\int 1\,du = u,
\int \left(-\frac{3}{u}\right) du = -3\int \frac{1}{u}\,du = -3\ln|u|,
\int \frac{4}{u^{2}}\,du = 4\int u^{-2}\,du = 4\left(-u^{-1}\right) = -\frac{4}{u}.
Somando as partes, a primitiva em função de u é
u - 3\ln|u| - \frac{4}{u} + C.

Passo 6

Volto à variável original x usando u=x+1. Substituindo:
u - 3\ln|u| - \frac{4}{u} + C = (x+1) - 3\ln|x+1| - \frac{4}{x+1} + C.

Passo 7

Verificação rápida (apenas para garantir que não cometi erro): derivando
\frac{d}{dx}\!\left[(x+1)-3\ln|x+1|-\frac{4}{x+1}\right] = 1 - \frac{3}{x+1} + \frac{4}{(x+1)^{2}},
e como \dfrac{x^{2}-x+2}{(x+1)^{2}} = 1 - \dfrac{3}{x+1} + \dfrac{4}{(x+1)^{2}} (visto nos passos acima), a primitiva está correta.

Resposta

(x+1)-3\ln|x+1|-\dfrac{4}{x+1}+C

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