Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: limites de integração
e
; integrando
. A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do integrando usando álgebra elementar. Observe que podemos escrever
como
. Assim,
Esta manipulação é útil porque transforma o integrando em uma soma (diferença) de termos fáceis de integrar.
Passo 3
Substituindo essa decomposição dentro da integral, obtemos
Agora vamos calcular cada uma das duas integrais separadamente. A primeira é trivial:
Passo 4
Para calcular a segunda integral
usamos uma substituição para reduzir ao caso padrão
.
Faça a substituição
. Então
e
. Além disso,
Substituindo na integral:
Pelo resultado conhecido,
logo
Passo 5
Voltando à integral definida e lembrando do fator
que estava multiplicando:
Agora avaliamos nos limites:
Portanto
Passo 6
Juntando as duas parcelas calculadas no Passo 3:
Se quiser, factoramos
:
. Bom trabalho; você já fez a parte mais chata — o resto é só avaliar arctan em pontos conhecidos!