Calcule as integrais abaixo
\int_{0}^{3} \frac{x^{2}}{9+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3} \frac{x^{2}}{9+x^{2}}\,dx.
Informações dadas: limites de integração 0 e 3; integrando \dfrac{x^{2}}{9+x^{2}}. A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do integrando usando álgebra elementar. Observe que podemos escrever x^{2} como (x^{2}+9)-9. Assim,
\frac{x^{2}}{9+x^{2}}=\frac{(x^{2}+9)-9}{9+x^{2}}=1-\frac{9}{9+x^{2}}.
Esta manipulação é útil porque transforma o integrando em uma soma (diferença) de termos fáceis de integrar.

Passo 3

Substituindo essa decomposição dentro da integral, obtemos
\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{9+x^{2}}\,dx=\int_{0}^{3}1\,dx-9\int_{0}^{3}\frac{1}{9+x^{2}}\,dx.
Agora vamos calcular cada uma das duas integrais separadamente. A primeira é trivial:
\int_{0}^{3}1\,dx = \bigl[x\bigr]_{0}^{3}=3-0=3.

Passo 4

Para calcular a segunda integral \displaystyle \int_{0}^{3}\frac{1}{9+x^{2}}\,dx usamos uma substituição para reduzir ao caso padrão \int \frac{1}{1+u^{2}}du=\arctan(u)+C.
Faça a substituição \displaystyle u=\frac{x}{3}. Então \displaystyle x=3u e \displaystyle dx=3\,du. Além disso,
9+x^{2}=9+(3u)^{2}=9(1+u^{2}).
Substituindo na integral:
\int \frac{1}{9+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{9(1+u^{2})}\cdot 3\,du = \frac{1}{3}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du.
Pelo resultado conhecido,
\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du=\arctan(u)+C,
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\int \frac{1}{9+x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\arctan\!\left(u\right)+C = \frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.

Passo 5

Voltando à integral definida e lembrando do fator 9 que estava multiplicando:
9\int_{0}^{3}\frac{1}{9+x^{2}}\,dx = 9\left[\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)\right]_{0}^{3} = 3\left[\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)\right]_{0}^{3}.
Agora avaliamos nos limites:
\arctan\!\left(\frac{3}{3}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}, \qquad \arctan\!\left(\frac{0}{3}\right)=\arctan(0)=0.
Portanto
3\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{3\pi}{4}.

Passo 6

Juntando as duas parcelas calculadas no Passo 3:
\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{9+x^{2}}\,dx = 3 - \frac{3\pi}{4}.
Se quiser, factoramos 3: \displaystyle 3\left(1-\frac{\pi}{4}\right). Bom trabalho; você já fez a parte mais chata — o resto é só avaliar arctan em pontos conhecidos!

Resposta

3-\frac{3\pi}{4}

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