Calcule as integrais abaixo:
(a) \int \sqrt{9-x^{2}} d x
(b) \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}} d x
(c) \int \frac{d x}{\sqrt{25-x^{2}}}
(d) \int \sqrt{x^{2}+4} d x
(e) \int \sqrt{x^{2}-9} d x
(f) \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as seguintes primitivas (antiderivadas):
(a) \displaystyle \int \sqrt{9-x^{2}}\, dx
(b) \displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}\, dx
(c) \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{25-x^{2}}}
(d) \displaystyle \int \sqrt{x^{2}+4}\, dx
(e) \displaystyle \int \sqrt{x^{2}-9}\, dx
(f) \displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\, dx
Essas são as seis perguntas; a resposta final pedida é a primitiva de cada uma (cada uma com a constante de integração).

Passo 2

Antes de começar a resolver, umas ideias didáticas importantes (vai ajudar muito na prova): quando aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}}, \sqrt{a^{2}+x^{2}} ou \sqrt{x^{2}-a^{2}}, as substituições trigonométricas padrão tornam a conta bem direta. Eu explico cada uma e por que funcionam:
  • Se temos \sqrt{a^{2}-x^{2}}, use \displaystyle x = a\sin\theta. Porque \;1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta, então a raiz vira a\cos\theta (mais simples). Além disso dx=a\cos\theta\,d\theta.
  • Se temos \sqrt{a^{2}+x^{2}}, use \displaystyle x=a\tan\theta. Porque \;1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, então a raiz vira a\operatorname{sec}\theta e dx=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Se temos \sqrt{x^{2}-a^{2}}, use \displaystyle x=a\operatorname{sec}\theta. Porque \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta, então a raiz vira a\tan\theta e dx=a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Também há alternativas com substituições hiperbólicas, mas aqui vamos usar as trigonométricas clássicas — são as que normalmente pedem em prova. Vou mostrar passo a passo cada integral usando essas substituições, e sempre volto à variável x no final.

Passo 3

Resolver (a) \displaystyle \int \sqrt{9-x^{2}}\, dx.
  1. Faço a substituição indicada para \sqrt{a^{2}-x^{2}}: \displaystyle x=3\sin\theta. Então
dx=3\cos\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=3\cos\theta.
  1. Substituindo na integral:
\int \sqrt{9-x^{2}}\,dx=\int (3\cos\theta)\cdot(3\cos\theta)\,d\theta =9\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
  1. Use a identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos 2\theta}{2}:
9\int \cos^{2}\theta\,d\theta =9\int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta =\frac{9}{2}\int (1+\cos 2\theta)\,d\theta =\frac{9}{2}\left(\theta+\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right)+C.
  1. Volto para x. Como x=3\sin\theta, temos \sin\theta=\dfrac{x}{3} e \cos\theta=\dfrac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}. Além \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta. Assim
\frac{9}{2}\theta+\frac{9}{4}\sin 2\theta =\frac{9}{2}\theta+\frac{9}{4}\cdot 2\sin\theta\cos\theta =\frac{9}{2}\theta+\frac{9}{2}\sin\theta\cos\theta.
Substituindo \sin\theta e \cos\theta:
\frac{9}{2}\theta+\frac{9}{2}\cdot\frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3} =\frac{9}{2}\theta+\frac{1}{2}x\sqrt{9-x^{2}}.
  1. Finalmente \theta=\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right). Portanto
\int \sqrt{9-x^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{9-x^{2}}+\frac{9}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.

Passo 4

Resolver (b) \displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}\, dx.
  1. Uso x=4\sin\theta. Então
dx=4\cos\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{16-x^{2}}=4\cos\theta,\qquad x^{2}=16\sin^{2}\theta.
  1. Substituindo:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx =\int \frac{16\sin^{2}\theta}{4\cos\theta}\cdot 4\cos\theta\,d\theta =16\int \sin^{2}\theta\,d\theta.
  1. Use \sin^{2}\theta=\tfrac{1-\cos 2\theta}{2}:
16\int \sin^{2}\theta\,d\theta =16\cdot\frac{1}{2}\int (1-\cos 2\theta)\,d\theta =8\left(\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right)+C.
  1. Reescrevo \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta. Então
8\theta-4\sin 2\theta=8\theta-8\sin\theta\cos\theta.
Volto para x: \sin\theta=\dfrac{x}{4}, \cos\theta=\dfrac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}, e \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{4}\right). Além
\sin\theta\cos\theta=\frac{x}{4}\cdot\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}=\frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{16}.
  1. Portanto
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx =8\arcsin\!\left(\frac{x}{4}\right)-8\cdot\frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{16}+C =8\arcsin\!\left(\frac{x}{4}\right)-\frac{x}{2}\sqrt{16-x^{2}}+C.

Passo 5

Resolver (c) \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{25-x^{2}}}.
  1. Esta é a primitiva padrão da forma \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}. Uma maneira rápida: tomar x=5\sin\theta, então dx=5\cos\theta\,d\theta e \sqrt{25-x^{2}}=5\cos\theta. Assim
\int \frac{dx}{\sqrt{25-x^{2}}} =\int \frac{5\cos\theta\,d\theta}{5\cos\theta}=\int d\theta=\theta+C.
  1. Volto para x: \theta=\arcsin\!\left(\frac{x}{5}\right). Logo
\int \frac{dx}{\sqrt{25-x^{2}}}=\arcsin\!\left(\frac{x}{5}\right)+C.
(Observação rápida: também se usa a forma \arcsin(x/a) em geral.)

Passo 6

Resolver (d) \displaystyle \int \sqrt{x^{2}+4}\, dx.
  1. Aqui use x=2\tan\theta. Então
dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{x^{2}+4}=2\operatorname{sec}\theta.
  1. Substituindo:
\int \sqrt{x^{2}+4}\,dx=\int (2\operatorname{sec}\theta)\cdot (2\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta =4\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
  1. A integral de \operatorname{sec}^{3}\theta é padrão (vale decorar ou derivar com partes):
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\tfrac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C.
  1. Multiplicando por 4:
4\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =2\operatorname{sec}\theta\tan\theta+2\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C.
  1. Volto para x. Temos \tan\theta=\dfrac{x}{2} e \operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\dfrac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}. Então
2\operatorname{sec}\theta\tan\theta =2\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}\cdot\frac{x}{2}=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+4}.
E
2\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| =2\ln\left|\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}+\frac{x}{2}\right| =2\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+4}\bigr| + \text{const},
onde o \text{const} pode ser absorvido na constante de integração. Portanto
\int \sqrt{x^{2}+4}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+4}+2\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+4}\bigr|+C.

Passo 7

Resolver (e) \displaystyle \int \sqrt{x^{2}-9}\, dx.
  1. Use x=3\operatorname{sec}\theta. Então
dx=3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{x^{2}-9}=3\tan\theta.
  1. Substituindo:
\int \sqrt{x^{2}-9}\,dx =\int (3\tan\theta)\cdot(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta =9\int \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta\,d\theta.
  1. Como \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1,
9\int \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta\,d\theta =9\int (\operatorname{sec}^{3}\theta-\operatorname{sec}\theta)\,d\theta.
Usando as primitivas conhecidas:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\tfrac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|+C, \qquad \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta=\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|+C,
obtemos
9\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\tfrac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| -\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|\right) =\frac{9}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta-\frac{9}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|+C.
  1. Volto para x. \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{3}, \tan\theta=\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}. Então
\frac{9}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta =\frac{9}{2}\cdot\frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3} =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-9}.
E o log:
-\frac{9}{2}\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| =-\frac{9}{2}\ln\!\left|\frac{x+\sqrt{x^{2}-9}}{3}\right| =-\frac{9}{2}\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-9}\bigr|+ \text{const}.
Portanto
\int \sqrt{x^{2}-9}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-9}-\frac{9}{2}\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-9}\bigr|+C.

Passo 8

Resolver (f) \displaystyle \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\, dx.
  1. Uma ideia prática e muito usada em prova: escrever x^{2}=(x^{2}-4)+4. Assim
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}} =\frac{x^{2}-4}{\sqrt{x^{2}-4}}+\frac{4}{\sqrt{x^{2}-4}} =\sqrt{x^{2}-4}+\frac{4}{\sqrt{x^{2}-4}}.
  1. Portanto
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx =\int \sqrt{x^{2}-4}\,dx+4\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4}}.
  1. Já resolvemos as integrais de cada tipo nas partes anteriores (use o resultado de (e) com a=2 e a primitiva padrão de 1/\sqrt{x^{2}-a^{2}}):
\int \sqrt{x^{2}-4}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-4}-\frac{4}{2}\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr|+C =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-4}-2\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr|+C,
e
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4}}=\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr|+C.
  1. Somando:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx =\left(\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-4}-2\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr|\right) +4\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr|+C,
o que simplifica para
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-4}+2\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr|+C.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{x}{2}\sqrt{9-x^{2}}+\frac{9}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)+C
(b) \displaystyle 8\arcsin\!\left(\frac{x}{4}\right)-\frac{x}{2}\sqrt{16-x^{2}}+C
(c) \displaystyle \arcsin\!\left(\frac{x}{5}\right)+C
(d) \displaystyle \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+4}+2\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+4}\bigr|+C
(e) \displaystyle \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-9}-\frac{9}{2}\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-9}\bigr|+C
(f) \displaystyle \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-4}+2\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr|+C

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