Calcule as integrais abaixo:
(a) \int \sqrt{9-x^{2}} d x
(b) \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}} d x
(c) \int \frac{d x}{\sqrt{25-x^{2}}}
(d) \int \sqrt{x^{2}+4} d x
(e) \int \sqrt{x^{2}-9} d x
(f) \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular as seguintes primitivas (antiderivadas):
Essas são as seis perguntas; a resposta final pedida é a primitiva de cada uma (cada uma com a constante de integração).
Passo 2
Antes de começar a resolver, umas ideias didáticas importantes (vai ajudar muito na prova): quando aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}}, \sqrt{a^{2}+x^{2}} ou \sqrt{x^{2}-a^{2}}, as substituições trigonométricas padrão tornam a conta bem direta. Eu explico cada uma e por que funcionam:
Se temos \sqrt{a^{2}-x^{2}}, use \displaystyle x = a\sin\theta. Porque \;1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta, então a raiz vira a\cos\theta (mais simples). Além disso dx=a\cos\theta\,d\theta.
Se temos \sqrt{a^{2}+x^{2}}, use \displaystyle x=a\tan\theta. Porque \;1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, então a raiz vira a\operatorname{sec}\theta e dx=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Se temos \sqrt{x^{2}-a^{2}}, use \displaystyle x=a\operatorname{sec}\theta. Porque \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta, então a raiz vira a\tan\theta e dx=a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Também há alternativas com substituições hiperbólicas, mas aqui vamos usar as trigonométricas clássicas — são as que normalmente pedem em prova. Vou mostrar passo a passo cada integral usando essas substituições, e sempre volto à variável x no final.
Esta é a primitiva padrão da forma \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}. Uma maneira rápida: tomar x=5\sin\theta, então dx=5\cos\theta\,d\theta e \sqrt{25-x^{2}}=5\cos\theta. Assim