(PUC - 2009) Quantas soluções inteiras a inequação x^{2}+x-20 \leq 0 admite?
a) 2
b) 3
c) 7
d) 10
e) 13

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas soluções inteiras a inequação x^{2}+x-20 \leq 0 admite?”
Informações dadas: a inequação é \,x^{2}+x-20 \leq 0. Queremos contar todos os números inteiros x que satisfazem essa desigualdade. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: encontrar as raízes da equação associada \,x^{2}+x-20=0, porque as raízes delimitam onde a expressão muda de sinal. Para uma equação quadrática geral \,ax^{2}+bx+c=0 as raízes são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac. Aqui temos a=1, b=1, c=-20. Vou calcular \Delta:
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot(-20)=1+80=81.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{81}=9.

Passo 3

Usando a fórmula das raízes:
x=\frac{-1\pm 9}{2}.
Isso dá duas soluções:
x=\frac{-1+9}{2}=\frac{8}{2}=4
e
x=\frac{-1-9}{2}=\frac{-10}{2}=-5.
Portanto as raízes da equação são x=-5 e x=4.

Passo 4

Agora a interpretação geométrica/algebráica: como o coeficiente quadrático é a=1>0, o gráfico da função f(x)=x^{2}+x-20 é uma parábola voltada para cima. Numa parábola voltada para cima, a função é negativa ou zero entre as duas raízes (inclusive) e positiva fora delas. Logo a solução da inequação \,x^{2}+x-20 \le 0 é o intervalo
-5 \le x \le 4.
Posso checar os extremos: para x=-5 temos (-5)^{2}+(-5)-20=25-5-20=0. Para x=4 temos 4^{2}+4-20=16+4-20=0. Então os extremos pertencem à solução (por causa do “ \leq”).

Passo 5

Agora contamos quantos inteiros existem no intervalo -5 \le x \le 4. Uma maneira prática é listar ou usar a fórmula de contagem de inteiros em intervalos fechados: se m e n são inteiros com m\le n, o número de inteiros de m até n inclusive é n-m+1. Aqui m=-5 e n=4, então o número é
4-(-5)+1=4+5+1=10.
Alternativamente podemos listar: -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 — são 10 números.

Passo 6

Portanto a inequação admite 10 soluções inteiras. Isso corresponde à alternativa (d) da prova.

Resposta

10

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