(PUC - 2009) Quantas soluções inteiras a inequação
admite?
a) 2
b) 3
c) 7
d) 10
e) 13
a) 2
b) 3
c) 7
d) 10
e) 13
Passo 1
O enunciado pede: “Quantas soluções inteiras a inequação
admite?”
Informações dadas: a inequação é . Queremos contar todos os números inteiros
que satisfazem essa desigualdade. Não há outras restrições no enunciado.
Informações dadas: a inequação é
Passo 2
Primeiro passo técnico: encontrar as raízes da equação associada
, porque as raízes delimitam onde a expressão muda de sinal. Para uma equação quadrática geral
as raízes são dadas por
onde
. Aqui temos
,
,
. Vou calcular
:
A raiz quadrada de
é
.
Passo 3
Usando a fórmula das raízes:
Isso dá duas soluções:
e
Portanto as raízes da equação são
e
.
Passo 4
Agora a interpretação geométrica/algebráica: como o coeficiente quadrático é
, o gráfico da função
é uma parábola voltada para cima. Numa parábola voltada para cima, a função é negativa ou zero entre as duas raízes (inclusive) e positiva fora delas. Logo a solução da inequação
é o intervalo
Posso checar os extremos: para
temos
. Para
temos
. Então os extremos pertencem à solução (por causa do “
”).
Passo 5
Agora contamos quantos inteiros existem no intervalo
. Uma maneira prática é listar ou usar a fórmula de contagem de inteiros em intervalos fechados: se
e
são inteiros com
, o número de inteiros de
até
inclusive é
. Aqui
e
, então o número é
Alternativamente podemos listar:
— são
números.
Passo 6
Portanto a inequação admite
soluções inteiras. Isso corresponde à alternativa (d) da prova.