(PEIES) A função matemática que descreve o custo C (reais) para fabricar x unidades de determinado produto é C(x)=x^{2}-100 x+4000. Nesse caso, pode-se afirmar que o custo de produção
a) de 20 unidades desse produto é maior do que o custo de produção de 10 unidades.
b) de 60 unidades é maior que o custo de produção de 30 unidades.
c) será mínimo quando forem produzidas 50 unidades.
d) será mínimo quando for produzida apenas uma unidade.
e) será máximo quando forem produzidas 100 unidades.

Passo 1

O enunciado fornece a função de custo
C(x)=x^{2}-100x+4000
onde x representa o número de unidades produzidas. Pergunta-se qual das alternativas (a) a (e) é verdadeira:
a) o custo de produção de 20 unidades é maior do que o custo de produção de 10 unidades;
b) o custo de 60 unidades é maior que o custo de 30 unidades;
c) o custo será mínimo quando forem produzidas 50 unidades;
d) o custo será mínimo quando for produzida apenas uma unidade;
e) o custo será máximo quando forem produzidas 100 unidades.

Passo 2

Vamos reescrever a função completando o quadrado para entender seu comportamento. Começo isolando os termos em x:
C(x)=x^{2}-100x+4000.
Completar o quadrado significa escrever x^{2}-100x como um quadrado perfeito menos um ajuste. Calculamos
(x-50)^{2}=x^{2}-100x+2500.
Logo
x^{2}-100x=(x-50)^{2}-2500.
Substituindo em C(x) obtemos
C(x)=(x-50)^{2}-2500+4000=(x-50)^{2}+1500.

Passo 3

A forma
C(x)=(x-50)^{2}+1500
é muito informativa: (x-50)^{2} é um quadrado e, portanto, sempre é maior ou igual a 0 para todo x. Assim, o menor valor possível de (x-50)^{2} é 0, que ocorre quando x=50. Portanto C(x) atinge seu valor mínimo quando x=50 e o valor mínimo é
C(50)=0+1500=1500.
Isto já mostra que a alternativa (c) é verdadeira: o custo será mínimo em x=50.

Passo 4

Agora vamos checar as outras alternativas calculando valores específicos para comparar, usando a forma completada que facilita contas:
Calcule C(10):
C(10)=(10-50)^{2}+1500=40^{2}+1500=1600+1500=3100.
Calcule C(20):
C(20)=(20-50)^{2}+1500=30^{2}+1500=900+1500=2400.
Comparando C(20) com C(10): C(20)=2400 e C(10)=3100. Logo C(20)<C(10). A alternativa (a) afirma o oposto, portanto (a) é falsa.

Passo 5

Calcule C(30) e C(60):
C(30)=(30-50)^{2}+1500=20^{2}+1500=400+1500=1900,
C(60)=(60-50)^{2}+1500=10^{2}+1500=100+1500=1600.
Comparando: C(60)=1600 e C(30)=1900, então C(60)<C(30). A alternativa (b) diz que C(60) é maior que C(30), o que é falso. Portanto (b) é falsa.

Passo 6

A alternativa (d) diz que o custo será mínimo em x=1. Calculamos
C(1)=(1-50)^{2}+1500=49^{2}+1500=2401+1500=3901,
que é muito maior que o mínimo 1500 em x=50. Logo (d) é falsa.

Passo 7

A alternativa (e) afirma que o custo será máximo em x=100. Mas a forma (x-50)^{2}+1500 mostra que conforme x cresce muito (para +\infty) ou decresce muito (para -\infty), (x-50)^{2} cresce sem limite, então C(x) não tem máximo (é ilimitada superiormente). Portanto não faz sentido dizer que há um máximo em x=100; (e) é falsa. (Por curiosidade, C(100)=(100-50)^{2}+1500=2500+1500=4000, mas isso não é um máximo global.)

Resposta

c

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