(PEIES) A função matemática que descreve o custo
(reais) para fabricar
unidades de determinado produto é
. Nesse caso, pode-se afirmar que o custo de produção
a) de 20 unidades desse produto é maior do que o custo de produção de 10 unidades.
b) de 60 unidades é maior que o custo de produção de 30 unidades.
c) será mínimo quando forem produzidas 50 unidades.
d) será mínimo quando for produzida apenas uma unidade.
e) será máximo quando forem produzidas 100 unidades.
a) de 20 unidades desse produto é maior do que o custo de produção de 10 unidades.
b) de 60 unidades é maior que o custo de produção de 30 unidades.
c) será mínimo quando forem produzidas 50 unidades.
d) será mínimo quando for produzida apenas uma unidade.
e) será máximo quando forem produzidas 100 unidades.
Passo 1
O enunciado fornece a função de custo
onde
representa o número de unidades produzidas. Pergunta-se qual das alternativas (a) a (e) é verdadeira:
a) o custo de produção de unidades é maior do que o custo de produção de
unidades;
b) o custo de unidades é maior que o custo de
unidades;
c) o custo será mínimo quando forem produzidas unidades;
d) o custo será mínimo quando for produzida apenas uma unidade;
e) o custo será máximo quando forem produzidas unidades.
a) o custo de produção de
b) o custo de
c) o custo será mínimo quando forem produzidas
d) o custo será mínimo quando for produzida apenas uma unidade;
e) o custo será máximo quando forem produzidas
Passo 2
Vamos reescrever a função completando o quadrado para entender seu comportamento. Começo isolando os termos em
:
Completar o quadrado significa escrever
como um quadrado perfeito menos um ajuste. Calculamos
Logo
Substituindo em
obtemos
Passo 3
A forma
é muito informativa:
é um quadrado e, portanto, sempre é maior ou igual a
para todo
. Assim, o menor valor possível de
é
, que ocorre quando
. Portanto
atinge seu valor mínimo quando
e o valor mínimo é
Isto já mostra que a alternativa (c) é verdadeira: o custo será mínimo em
.
Passo 4
Agora vamos checar as outras alternativas calculando valores específicos para comparar, usando a forma completada que facilita contas:
Calcule
:
Calcule
:
Comparando
com
:
e
. Logo
. A alternativa (a) afirma o oposto, portanto (a) é falsa.
Passo 5
Calcule
e
:
Comparando:
e
, então
. A alternativa (b) diz que
é maior que
, o que é falso. Portanto (b) é falsa.
Passo 6
A alternativa (d) diz que o custo será mínimo em
. Calculamos
que é muito maior que o mínimo
em
. Logo (d) é falsa.
Passo 7
A alternativa (e) afirma que o custo será máximo em
. Mas a forma
mostra que conforme
cresce muito (para
) ou decresce muito (para
),
cresce sem limite, então
não tem máximo (é ilimitada superiormente). Portanto não faz sentido dizer que há um máximo em
; (e) é falsa. (Por curiosidade,
, mas isso não é um máximo global.)
Resposta
c