Calcule as integrais abaixo:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{4} \sqrt{1+x^{2}+y^{2}} d z d y d x

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais são os dados. O problema pede calcular a integral triple dada:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{4} \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}\, dz\, dy\, dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O limite de x é 0 a 2.
  • Para cada x, o limite de y é 0 a \sqrt{4-x^{2}}.
  • Para cada (x,y), o limite de z é 0 a 4.
  • A função integranda é \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}, que não depende de z.
    O objetivo: calcular o valor numérico exato da integral tripla acima.

Passo 2

Observação inicial útil: a integranda \sqrt{1+x^{2}+y^{2}} não depende de z. Quando uma função não depende de uma variável de integração, a integral nessa variável é simplesmente essa função multiplicada pelo comprimento do intervalo de integração.
Aplicando isso ao integral em z:
\int_{0}^{4} \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}\, dz = \sqrt{1+x^{2}+y^{2}} \cdot \int_{0}^{4} dz = \sqrt{1+x^{2}+y^{2}} \cdot 4.
Logo a integral tripla reduz-se a uma constante 4 vezes uma integral dupla:
4 \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}\, dy\, dx.

Passo 3

Agora vamos entender a região de integração no plano xy. Os limites indicam:
  • 0\le x\le 2,
  • 0\le y\le \sqrt{4-x^{2}}.
A condição y\le \sqrt{4-x^{2}} é equivalente a x^{2}+y^{2}\le 4 e y\ge 0. Como x\ge 0 também, a região é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante: \{(x,y)\mid 0\le r\le 2,\\\ 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}\} se usarmos coordenadas polares. Essa observação sugere trocar para coordenadas polares, porque a integranda depende de x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Explicando a troca para coordenadas polares (passo-a-passo e didático):
  • Em coordenadas polares, usamos as transformações \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\;.
  • O jacobiano (o fator de mudança de área) é r, ou seja dx\,dy = r\, dr\, d\theta.
  • Na nossa região, r varia de 0 a 2 e \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} (primeiro quadrante).
  • A integranda \sqrt{1+x^{2}+y^{2}} torna-se \sqrt{1+r^{2}}, porque x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Substituindo tudo, a integral dupla fica:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}\, dy\, dx = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2} \sqrt{1+r^{2}}\; r\, dr\, d\theta.
Lembrando do fator 4 que já tiramos do integral em z, a integral tripla é
4 \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2} r\sqrt{1+r^{2}}\, dr\, d\theta.

Passo 5

Agora calculamos a integral radial \displaystyle \int_{0}^{2} r\sqrt{1+r^{2}}\, dr. Vou explicar a técnica:
  • Fazer a substituição u=1+r^{2}. Então du = 2r\, dr, isto é r\, dr = \dfrac{du}{2}.
  • Em u, quando r=0 temos u=1; quando r=2 temos u=1+4=5.
  • A integral transforma-se em
\int_{0}^{2} r\sqrt{1+r^{2}}\, dr = \int_{u=1}^{5} \sqrt{u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{1/2}\, du.
  • Integrando u^{1/2}: \displaystyle \int u^{1/2}\, du = \frac{2}{3} u^{3/2}.
  • Portanto
\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\, u^{3/2}\Big|_{1}^{5} = \frac{1}{3}\left(5^{3/2}-1^{3/2}\right) = \frac{1}{3}\left(5^{3/2}-1\right).

Passo 6

Voltemos à integral em \theta. A integral completa vale:
4 \int_{0}^{\pi/2} \left(\frac{1}{3}\bigl(5^{3/2}-1\bigr)\right) d\theta = 4\cdot \frac{1}{3}\bigl(5^{3/2}-1\bigr) \int_{0}^{\pi/2} d\theta.
A integral \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}. Assim:
4\cdot \frac{1}{3}\bigl(5^{3/2}-1\bigr)\cdot \frac{\pi}{2}.

Passo 7

Agora simplifico os fatores constantes:
4\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}.
E 5^{3/2} = 5\sqrt{5}. Assim o resultado final é
\frac{2\pi}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr)

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