A função integranda é \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}, que não depende de z.
O objetivo: calcular o valor numérico exato da integral tripla acima.
Passo 2
Observação inicial útil: a integranda \sqrt{1+x^{2}+y^{2}} não depende de z. Quando uma função não depende de uma variável de integração, a integral nessa variável é simplesmente essa função multiplicada pelo comprimento do intervalo de integração.
Agora vamos entender a região de integração no plano xy. Os limites indicam:
0\le x\le 2,
0\le y\le \sqrt{4-x^{2}}.
A condição y\le \sqrt{4-x^{2}} é equivalente a x^{2}+y^{2}\le 4 e y\ge 0. Como x\ge 0 também, a região é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante: \{(x,y)\mid 0\le r\le 2,\\\ 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}\} se usarmos coordenadas polares. Essa observação sugere trocar para coordenadas polares, porque a integranda depende de x^{2}+y^{2}.
Passo 4
Explicando a troca para coordenadas polares (passo-a-passo e didático):
Em coordenadas polares, usamos as transformações \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\;.
O jacobiano (o fator de mudança de área) é r, ou seja dx\,dy = r\, dr\, d\theta.
Na nossa região, r varia de 0 a 2 e \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} (primeiro quadrante).
A integranda \sqrt{1+x^{2}+y^{2}} torna-se \sqrt{1+r^{2}}, porque x^{2}+y^{2}=r^{2}.