Calcule as integrais abaixo:
(a) \quad \int_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \operatorname{sen}(x+y) d A, \quad D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x+y \leq \pi, 0 \leq x-y \leq \pi\right\}
(b) \quad \int_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V, \quad W é a região limitada superiormente pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e inferiormente pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} ;
(c) \begin{gathered}\int_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V, W \text { é a região interior ao cilindro } x^{2}+y^{2}=1 \text { e à esfera } \\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \text {. }\end{gathered}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados de cada item.
(a) Calcular \displaystyle \int_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right)\operatorname{sen}(x+y)\,dA, onde D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\le x+y\le\pi,\;0\le x-y\le\pi\}.
(b) Calcular \displaystyle \int_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV, onde W é a região limitada superiormente pela esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=16\; e inferiormente pelo cone \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(c) Calcular \displaystyle \int_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dV, onde W é a região interior ao cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; e à esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Informações úteis extraídas dos enunciados:
No item (a) a região é dada por desigualdades lineares em combinações x+y e x-y.
No item (b) a esfera tem raio 4 e o cone é dado por z=r (usando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}).
No item (c) o cilindro tem raio 1 e a esfera tem raio 2.
Passo 2
Comentário rápido sobre métodos (por que escolhi as coordenadas que vou usar):
Quando a região é descrita por combinações lineares x+y e x-y é natural tentar a mudança de variáveis u=x+y,\;v=x-y porque simplifica os limites e muitas vezes o jacobiano é simples.
Quando aparecem esferas e cones é muito conveniente usar coordenadas esféricas, pois a esfera fica \rho= constante e o cone fica \varphi= constante.
Quando a região é cilíndrica (limite em x^{2}+y^{2}= constante) e integrando funções que dependem de x^{2}+y^{2}, coordenadas cilíndricas são as mais diretas.
Vou aplicar essas escolhas em cada item e explicar passo a passo o porquê e como.
Passo 3
Definir a mudança e a inversa:
u = x+y,\qquad v = x-y.
Invertendo:
x = \frac{u+v}{2},\qquad y = \frac{u-v}{2}.
Calcular o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y). A matriz jacobiana é
A integral do item (a) foi reduzida e calculada; o valor final que obtivemos é \dfrac{\pi^{3}}{4}.
Passo 5
Entender a região W. A esfera tem equação \rho=4 em coordenadas esféricas (onde \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}). O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas é
A região superiormente limitada pela esfera e inferiormente pelo cone consiste dos pontos dentro da esfera com \varphi variando de 0 (eixo +z) até \pi/4. Assim os limites são
Entender a região W. É o conjunto de pontos dentro do cilindro r\le 1 e dentro da esfera \rho\le 2 (em coordenadas esféricas, mas vamos usar cilíndricas). Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z):
O disco no plano xy tem 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi.
Para cada r fixo com 0\le r\le 1, o z varia entre as interseções com a esfera:
z = \pm\sqrt{4 - r^{2}}.
Assim os limites são 0\le\theta\le 2\pi,\;0\le r\le 1,\; -\sqrt{4-r^{2}}\le z\le \sqrt{4-r^{2}}.
Reescrever o integrando e o elemento de volume. Em coordenadas cilíndricas:
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Portanto o integrando (x^{2}+y^{2})\,dV = r^{2}\cdot r\,dz\,dr\,d\theta = r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.