Calcule as integrais abaixo:
(a) \quad \int_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \operatorname{sen}(x+y) d A, \quad D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x+y \leq \pi, 0 \leq x-y \leq \pi\right\}
(b) \quad \int_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V, \quad W é a região limitada superiormente pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e inferiormente pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} ;
(c) \begin{gathered}\int_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V, W \text { é a região interior ao cilindro } x^{2}+y^{2}=1 \text { e à esfera } \\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \text {. }\end{gathered}éãà

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados de cada item.
  • (a) Calcular \displaystyle \int_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right)\operatorname{sen}(x+y)\,dA, onde D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\le x+y\le\pi,\;0\le x-y\le\pi\}.
  • (b) Calcular \displaystyle \int_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV, onde W é a região limitada superiormente pela esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=16\; e inferiormente pelo cone \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • (c) Calcular \displaystyle \int_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dV, onde W é a região interior ao cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; e à esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Informações úteis extraídas dos enunciados:
  • No item (a) a região é dada por desigualdades lineares em combinações x+y e x-y.
  • No item (b) a esfera tem raio 4 e o cone é dado por z=r (usando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}).
  • No item (c) o cilindro tem raio 1 e a esfera tem raio 2.

Passo 2

Comentário rápido sobre métodos (por que escolhi as coordenadas que vou usar):
  • Quando a região é descrita por combinações lineares x+y e x-y é natural tentar a mudança de variáveis u=x+y,\;v=x-y porque simplifica os limites e muitas vezes o jacobiano é simples.
  • Quando aparecem esferas e cones é muito conveniente usar coordenadas esféricas, pois a esfera fica \rho= constante e o cone fica \varphi= constante.
  • Quando a região é cilíndrica (limite em x^{2}+y^{2}= constante) e integrando funções que dependem de x^{2}+y^{2}, coordenadas cilíndricas são as mais diretas.
Vou aplicar essas escolhas em cada item e explicar passo a passo o porquê e como.

Passo 3

  1. Definir a mudança e a inversa:
u = x+y,\qquad v = x-y.
Invertendo:
x = \frac{u+v}{2},\qquad y = \frac{u-v}{2}.
  1. Calcular o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y). A matriz jacobiana é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
O determinante é
\det = \tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{2}.
O valor absoluto do jacobiano para o elemento de área é \left|\det\right|=\tfrac{1}{2}. Portanto
dA = \tfrac{1}{2}\,du\,dv.
  1. Reescrever o integrando em u,v.
  • Primeiro, x^{2}-y^{2}. Usando x=\tfrac{u+v}{2} e y=\tfrac{u-v}{2},
x^{2}-y^{2} = \frac{(u+v)^{2}-(u-v)^{2}}{4} = \frac{4uv}{4}=uv.
  • Em seguida, \operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen}(u).
Assim o integrando fica uv\cdot\operatorname{sen}(u) e dA=\tfrac{1}{2}\,du\,dv.
  1. Descrever a região D em termos de u,v. Pelo enunciado:
0\le x+y\le\pi\quad\Rightarrow\quad 0\le u\le\pi,
0\le x-y\le\pi\quad\Rightarrow\quad 0\le v\le\pi.
Logo D em (u,v) é o retângulo [0,\pi]\times[0,\pi].
  1. Montar a integral em u,v:
\iint_{D}(x^{2}-y^{2})\operatorname{sen}(x+y)\,dA = \int_{u=0}^{\pi}\int_{v=0}^{\pi} uv\operatorname{sen}(u)\cdot\tfrac{1}{2}\,dv\,du.
  1. A integral separa-se em u e v porque \operatorname{sen}(u) não depende de v:
= \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\left(u\operatorname{sen}(u)\int_{0}^{\pi} v\,dv\right)du = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} u\operatorname{sen}(u)\cdot\frac{\pi^{2}}{2}\,du = \frac{\pi^{2}}{4}\int_{0}^{\pi} u\operatorname{sen}(u)\,du.
  1. Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} u\operatorname{sen}(u)\,du por partes. Usar as fórmulas:
  • Se I=\int u\operatorname{sen} u\,du, tome a=u e db=\operatorname{sen} u\,du. Então da=du e b=-\cos u.
I = -u\cos u + \int \cos u\,du = -u\cos u + \sin u.
Avaliar de 0 a \pi:
\left[-u\cos u + \sin u\right]_{0}^{\pi} = \big(-\pi\cos\pi + \sin\pi\big) - \big(0\cdot\cos 0 + \sin 0\big) = -\pi(-1)+0 - 0 = \pi.
  1. Substituir na integral:
\frac{\pi^{2}}{4}\cdot \pi = \frac{\pi^{3}}{4}.]

Passo 4

A integral do item (a) foi reduzida e calculada; o valor final que obtivemos é \dfrac{\pi^{3}}{4}.

Passo 5

  1. Entender a região W. A esfera tem equação \rho=4 em coordenadas esféricas (onde \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}). O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas é
\rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi \quad\Rightarrow\quad \tan\varphi = 1 \quad\Rightarrow\quad \varphi = \frac{\pi}{4}.
A região superiormente limitada pela esfera e inferiormente pelo cone consiste dos pontos dentro da esfera com \varphi variando de 0 (eixo +z) até \pi/4. Assim os limites são
0\le\theta\le 2\pi,\quad 0\le\varphi\le \tfrac{\pi}{4},\quad 0\le\rho\le 4.
  1. Reescrever o integrando e o elemento de volume. Em coordenadas esféricas:
  • x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
  • O elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Portanto o integrando (x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV vira \rho^{2}\cdot\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho^{4}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  1. Montar a integral tripla:
\int_{W}\!(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{4} \rho^{4}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  1. Integrar por partes separáveis (a integral separa nas três variáveis):
  • Integral em \rho:
\int_{0}^{4}\rho^{4}\,d\rho = \left.\frac{\rho^{5}}{5}\right|_{0}^{4} = \frac{4^{5}}{5} = \frac{1024}{5}.
  • Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi/4} = 1-\cos\frac{\pi}{4} = 1-\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Integral em \theta 2\pi.
  1. Multiplicar as contribuições:
2\pi \cdot \frac{1024}{5}\cdot\Big(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\Big) = \frac{2048\pi}{5}\Big(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\Big).
Podemos simplificar 1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{2-\sqrt{2}}{2}, então
\frac{2048\pi}{5}\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{2} = \frac{1024\pi}{5}\big(2-\sqrt{2}\big).

Passo 6

  1. Entender a região W. É o conjunto de pontos dentro do cilindro r\le 1 e dentro da esfera \rho\le 2 (em coordenadas esféricas, mas vamos usar cilíndricas). Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z):
  • O disco no plano xy tem 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi.
  • Para cada r fixo com 0\le r\le 1, o z varia entre as interseções com a esfera:
z = \pm\sqrt{4 - r^{2}}.
Assim os limites são 0\le\theta\le 2\pi,\;0\le r\le 1,\; -\sqrt{4-r^{2}}\le z\le \sqrt{4-r^{2}}.
  1. Reescrever o integrando e o elemento de volume. Em coordenadas cilíndricas:
  • x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Portanto o integrando (x^{2}+y^{2})\,dV = r^{2}\cdot r\,dz\,dr\,d\theta = r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.
  1. Montar a integral:
\int_{W}(x^{2}+y^{2})\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.
  1. Integrar em z primeiro (é simples porque o integrando não depende de z):
\int_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} dz = 2\sqrt{4-r^{2}}.
Logo a integral passa a ser
\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^{3}\cdot 2\sqrt{4-r^{2}}\,dr = 2\cdot 2\pi \int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr = 4\pi \int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr.
  1. Calcular a integral em r usando a substituição u=4-r^{2}. Então du=-2r\,dr, e r^{2}=4-u. Note que
r^{3}\,dr = r^{2}\cdot r\,dr = (4-u)\cdot\left(-\frac{du}{2}\right) = -\frac{4-u}{2}\,du.
Também \sqrt{4-r^{2}}=\sqrt{u}=u^{1/2}. Quando r=0 temos u=4; quando r=1 temos u=3. Portanto
\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr = -\tfrac{1}{2}\int_{u=4}^{3} (4-u)\,u^{1/2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{u=3}^{4} (4-u)u^{1/2}\,du.
  1. Expandir e integrar:
(4-u)u^{1/2} = 4u^{1/2}-u^{3/2}.
Logo
\tfrac{1}{2}\int_{3}^{4}\big(4u^{1/2}-u^{3/2}\big)du = \tfrac{1}{2}\Big(4\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}\Big)\Big|_{3}^{4} = \Big(\frac{4}{3}u^{3/2}-\frac{1}{5}u^{5/2}\Big)\Big|_{3}^{4}.
  1. Avaliar nos limites:
  • Para u=4: u^{3/2}=8,\;u^{5/2}=32. Assim
\frac{4}{3}\cdot 8 - \frac{1}{5}\cdot 32 = \frac{32}{3}-\frac{32}{5} = 32\Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Big)=32\cdot\frac{2}{15}=\frac{64}{15}.
  • Para u=3: u^{3/2}=3\sqrt{3},\;u^{5/2}=9\sqrt{3}. Assim
\frac{4}{3}\cdot 3\sqrt{3} - \frac{1}{5}\cdot 9\sqrt{3} =4\sqrt{3}-\frac{9}{5}\sqrt{3}=\left(4-\frac{9}{5}\right)\sqrt{3}=\frac{11}{5}\sqrt{3}.
  1. Diferença e multiplicar por 4\pi:
\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\,dr = \frac{64}{15}-\frac{11}{5}\sqrt{3}.
Multiplicando por 4\pi (passo anterior):
\int_{W}(x^{2}+y^{2})\,dV = 4\pi\left(\frac{64}{15}-\frac{11}{5}\sqrt{3}\right).
Podemos simplificar:
4\pi\cdot\frac{64}{15}=\frac{256\pi}{15},\qquad 4\pi\cdot\frac{11}{5}\sqrt{3}=\frac{44\pi}{5}\sqrt{3}=\frac{132\pi}{15}\sqrt{3},
logo uma forma compacta é
\frac{256\pi}{15}-\frac{132\pi}{15}\sqrt{3}=\frac{\pi(256-132\sqrt{3})}{15}.

Resposta

(a) \dfrac{\pi^{3}}{4}
(b) \dfrac{1024\pi}{5}\bigl(2-\sqrt{2}\bigr)
(c) \dfrac{\pi\bigl(256-132\sqrt{3}\bigr)}{15}

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