Calcule as integrais abaixo:
(a) $\quad \int_{W}\left(x{2}+y{2}+z\right)^{2} d V, \quad W:\left{ \begin{array}{c}x^{2}+y^{2} \leq 1 \\ 0 \leq z \leq 1\end{array}\right.)
(b) \quad \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z d y d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações fornecidas.
(a) Calcular a integral
\int_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)^{2}\,dV,
onde W é o conjunto definido por
\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\;0\le z\le 1\right\}.
Informações relevantes: a região W é um cilindro reto de base o disco unitário no plano xy e altura 1 (valores de z entre 0 e 1). O integrando depende de x^{2}+y^{2} e de z.
(b) Calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dz\,dy\,dx.
Informações relevantes: pelos limites, x, y e z são não-negativos e satisfazem x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1. Portanto a região de integração é a parte do interior da bola unitária com x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0 (isto é, um octante — exatamente um oitavo da bola unitária).

Passo 2

Resolvendo (a). Estratégia: como a região é um cilindro circular em torno do eixo z e o integrando depende de x^{2}+y^{2}, é natural passar para coordenadas cilíndricas. Vou explicar a mudança de coordenadas e o jacobiano.
Definição das coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0, \theta é o ângulo polar e z é o mesmo. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Breve justificativa do r: em coordenadas polares a área elementar é r\,dr\,d\theta; ao adicionar a direção z multiplicamos por dz, daí dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Pela definição da região W temos os limites:
0\le r\le 1,\qquad 0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le z\le 1.
O integrando transforma-se usando x^{2}+y^{2}=r^{2}. Assim
\left(x^{2}+y^{2}+z\right)^{2} = \left(r^{2}+z\right)^{2}.
Portanto a integral em cilíndricas fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(r^{2}+z\right)^{2} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Continuo (a): calcular a integral iterada. Primeiro integro em z (é conveniente porque o integrando é um polinômio em z para cada r).
Calculo
\int_{0}^{1}\left(r^{2}+z\right)^{2}dz =\int_{0}^{1}\left(r^{4}+2r^{2}z+z^{2}\right)dz =r^{4}+\;2r^{2}\cdot\frac{1}{2}+\;\frac{1}{3} =r^{4}+r^{2}+\frac{1}{3}.
Agora multiplico por r (do jacobiano) e integro em r:
\int_{0}^{1}\left(r^{4}+r^{2}+\frac{1}{3}\right)r\,dr =\int_{0}^{1}\left(r^{5}+r^{3}+\frac{1}{3}r\right)dr.
Calculo termo a termo:
\int_{0}^{1}r^{5}dr=\frac{1}{6},\qquad \int_{0}^{1}r^{3}dr=\frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1}\frac{1}{3}r\,dr=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.
Somando:
\int_{0}^{1}\left(r^{5}+r^{3}+\frac{1}{3}r\right)dr =\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6} =\frac{7}{12}.
Finalmente integro em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo:
\text{(a)}=\;2\pi\cdot\frac{7}{12}=\frac{7\pi}{6}.

Passo 4

Resolvendo (b). Estratégia: a região é um setor esférico (primeiro octante da bola unitária), e o integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, que na coordenada esférica é simplesmente a coordenada radial \rho. Então usar coordenadas esféricas torna a integral muito simples.
Definição das coordenadas esféricas (convenção usada aqui):
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi,
com \rho\ge 0, \varphi\in[0,\pi] (colatitude, \varphi=0 no eixo +z) e \theta\in[0,2\pi). O elemento de volume em esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta do jacobiano \rho^{2}\sin\varphi: vem da métrica esférica — o fator \rho^{2}\sin\varphi corresponde ao produto das escalas nas coordenadas radiais e angulares (pode memorizar; é padrão).
O integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho. Então o integrando total com o jacobiano é \rho\cdot\rho^{2}\sin\varphi=\rho^{3}\sin\varphi.
Agora os limites: como x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0 e a bola tem \rho\le 1, obtemos
0\le \rho\le 1,\qquad 0\le\varphi\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le\theta\le \frac{\pi}{2}.
Portanto a integral em esféricas é
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}\rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Continuo (b): calcular a integral iterada que ficou separável nas variáveis.
Primeiro em \rho:
\int_{0}^{1}\rho^{3}d\rho=\frac{1}{4}.
Depois em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi/2} = 1.
Finalmente em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando os três resultados:
\text{(b)} = \frac{1}{4}\cdot 1\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}.

Resposta

(a) \dfrac{7\pi}{6}
(b) \dfrac{\pi}{8}

Exercícios relacionados