Calcule as integrais abaixo:
(a) $\quad \int_{W}\left(x{2}+y{2}+z\right)^{2} d V, \quad W:\left{
\right.)
(b)
(a) $\quad \int_{W}\left(x{2}+y{2}+z\right)^{2} d V, \quad W:\left{
(b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações fornecidas.
(a) Calcular a integral
onde
é o conjunto definido por
Informações relevantes: a região
é um cilindro reto de base o disco unitário no plano
e altura
(valores de
entre
e
). O integrando depende de
e de
.
(b) Calcular a integral iterada
Informações relevantes: pelos limites,
,
e
são não-negativos e satisfazem
. Portanto a região de integração é a parte do interior da bola unitária com
(isto é, um octante — exatamente um oitavo da bola unitária).
Passo 2
Resolvendo (a). Estratégia: como a região é um cilindro circular em torno do eixo
e o integrando depende de
, é natural passar para coordenadas cilíndricas. Vou explicar a mudança de coordenadas e o jacobiano.
Definição das coordenadas cilíndricas:
onde
,
é o ângulo polar e
é o mesmo. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Breve justificativa do
: em coordenadas polares a área elementar é
; ao adicionar a direção
multiplicamos por
, daí
.
Pela definição da região
temos os limites:
O integrando transforma-se usando
. Assim
Portanto a integral em cilíndricas fica
Passo 3
Continuo (a): calcular a integral iterada. Primeiro integro em
(é conveniente porque o integrando é um polinômio em
para cada
).
Calculo
Agora multiplico por
(do jacobiano) e integro em
:
Calculo termo a termo:
Somando:
Finalmente integro em
:
Multiplicando tudo:
Passo 4
Resolvendo (b). Estratégia: a região é um setor esférico (primeiro octante da bola unitária), e o integrando é
, que na coordenada esférica é simplesmente a coordenada radial
. Então usar coordenadas esféricas torna a integral muito simples.
Definição das coordenadas esféricas (convenção usada aqui):
com
,
(colatitude,
no eixo
) e
. O elemento de volume em esféricas é
Explicação curta do jacobiano
: vem da métrica esférica — o fator
corresponde ao produto das escalas nas coordenadas radiais e angulares (pode memorizar; é padrão).
O integrando
. Então o integrando total com o jacobiano é
.
Agora os limites: como
e a bola tem
, obtemos
Portanto a integral em esféricas é
Passo 5
Continuo (b): calcular a integral iterada que ficou separável nas variáveis.
Primeiro em
:
Depois em
:
Finalmente em
:
Multiplicando os três resultados:
Resposta
(a)
(b)