Calcule as integrais abaixo:
\int e^{x} \cos (x / 3) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função e^{x}\cos(x/3). Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que
F'(x)=e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{3}\right).
Dados relevantes: a integranda é e^{x}\cos(x/3) e queremos uma antiderivada (somar depois uma constante de integração C). Não há outras condições.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos produto de funções como e^{x} e \cos(x/3).
Fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a derivada de u multiplicada por dx, e v é uma primitiva de dv.
Também precisamos saber como integrar funções trigonométricas com argumento linear: se k é constante,
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx),\qquad \int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx).
No nosso caso k=\tfrac{1}{3}, então, por exemplo, \int \cos(x/3)\,dx = 3\sin(x/3).

Passo 3

Defina
I=\int e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx.
Escolhemos em integração por partes u=e^{x} e dv=\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx. Então
du=e^{x}\,dx,\qquad v=\int \cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = 3\sin\!\left(\frac{x}{3}\right).
Aplicando a fórmula:
I = u v - \int v\,du = e^{x}\cdot 3\sin\!\left(\frac{x}{3}\right) - \int 3\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)e^{x}\,dx.
Portanto
I = 3e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{3}\right) - 3\int e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx.
Para simplificar a notação, defina
J=\int e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx.
Então temos a relação
I = 3e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{3}\right) - 3J. \tag{1}

Passo 4

Agora calculamos J por partes também. Tome u=e^{x} e dv=\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx. Então
du=e^{x}\,dx,\qquad v=\int \sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = -3\cos\!\left(\frac{x}{3}\right).
Aplicando integração por partes:
J = u v - \int v\,du = e^{x}\cdot\big(-3\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\big) - \int \big(-3\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\big)e^{x}\,dx.
Simplificando:
J = -3e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{3}\right) + 3\int e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx.
Mas \int e^{x}\cos(x/3)\,dx é exatamente I. Logo
J = -3e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{3}\right) + 3I. \tag{2}

Passo 5

Agora substituímos a expressão de J dada por (2) na equação (1):
I = 3e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{3}\right) - 3\big(-3e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{3}\right) + 3I\big).
Desenvolvendo os parênteses:
I = 3e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{3}\right) + 9e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{3}\right) - 9I.
Agrupando os termos com I no lado esquerdo:
I + 9I = 10I = 3e^{x}\sin\!\left(\frac{x}{3}\right) + 9e^{x}\cos\!\left(\frac{x}{3}\right).
Fatorando e^{x} no lado direito:
10I = e^{x}\big(9\cos\!\left(\frac{x}{3}\right) + 3\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\big).
Logo
I = \frac{e^{x}}{10}\big(9\cos\!\left(\frac{x}{3}\right) + 3\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\big).

Passo 6

Podemos simplificar factorizando 3 se quisermos uma forma mais compacta:
I = \frac{3e^{x}}{10}\big(3\cos\!\left(\frac{x}{3}\right) + \sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\big) + C,
onde C é a constante de integração. Pronto — essa é a antiderivada procurada. Você pode checar derivando para confirmar que volta a e^{x}\cos(x/3).

Resposta

\frac{e^{x}}{10}\big(9\cos\!\left(\frac{x}{3}\right) + 3\sin\!\left(\frac{x}{3}\right)\big) + C

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