Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função
. Ou seja, encontrar uma função
tal que
Dados relevantes: a integranda é
e queremos uma antiderivada (somar depois uma constante de integração
). Não há outras condições.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos produto de funções como
e
.
Fórmula de integração por partes:
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
multiplicada por
, e
é uma primitiva de
.
Também precisamos saber como integrar funções trigonométricas com argumento linear: se
é constante,
No nosso caso
, então, por exemplo,
.
Passo 3
Defina
Escolhemos em integração por partes
e
. Então
Aplicando a fórmula:
Portanto
Para simplificar a notação, defina
Então temos a relação
Passo 4
Agora calculamos
por partes também. Tome
e
. Então
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Mas
é exatamente
. Logo
Passo 5
Agora substituímos a expressão de
dada por (2) na equação (1):
Desenvolvendo os parênteses:
Agrupando os termos com
no lado esquerdo:
Fatorando
no lado direito:
Logo
Passo 6
Podemos simplificar factorizando
se quisermos uma forma mais compacta:
onde
é a constante de integração. Pronto — essa é a antiderivada procurada. Você pode checar derivando para confirmar que volta a
.