Calcule as integrais abaixo:
\int t \cos \left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função t \cos\!\left(t^{2}\right). A informação dada é exatamente a expressão a integrar:
\int t \cos\!\left(t^{2}\right)\, dt.
Não há outras condições (por ex., limites) — então queremos uma primitiva geral, isto é, a antiderivada mais constante de integração C.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do que vamos usar): vamos usar a técnica de substituição (às vezes chamada de mudança de variável). Essa técnica é a “inversa” da regra da cadeia da diferenciação. A regra geral é:
\text{se } u=g(t)\text{ e }du=g'(t)\,dt,\quad\text{então}\quad \int f(g(t))\,g'(t)\,dt = \int f(u)\,du.ã
Aqui g(t) é a função que está “dentro” (o argumento) e g'(t)\,dt aparece multiplicando fora. A substituição transforma a integral para uma em u, que costuma ser mais simples. Vou explicar cada símbolo: u é a nova variável, g'(t) é a derivada de g em relação a t, du significa g'(t)\,dt. Depois da integral em u resolvida, voltamos trocando u por g(t).

Passo 3

Escolha da substituição conveniente: observe que o argumento do cosseno é t^{2}. Faz sentido tentar
u = t^{2}.
Agora calcule du. Diferenciando u em relação a t
du = 2t\,dt.
Queremos substituir t\,dt na integral; isolamos:
t\,dt = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Substituição na integral: trocando t^{2} por u e t\,dt por \frac{1}{2}\,du, obtemos
\int t \cos\!\left(t^{2}\right)\,dt = \int \cos(u)\cdot \frac{1}{2}\,du.
Como \frac{1}{2} é constante, podemos tirar na frente:
\int \cos(u)\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Integração em u: sabemos que uma primitiva de \cos(u) é \sin(u), pois \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Portanto
\frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volta para a variável original: substituímos u = t^{2} de volta:
\frac{1}{2}\sin(u) + C = \frac{1}{2}\sin\!\left(t^{2}\right) + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta para checar se volta ao integrando. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\sin\!\left(t^{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\cos\!\left(t^{2}\right)\cdot 2t = t\cos\!\left(t^{2}\right),
que é exatamente o integrando, logo a primitiva está correta.

Passo 8

Um exemplo adicional curto para fixar: para \int 3x^{2}\cos(x^{3})\,dx faça u=x^{3}, então du=3x^{2}dx e a integral vira \int \cos(u)\,du=\sin(u)+C=\sin(x^{3})+C. O mesmo padrão aparece aqui: detectar a parte interna e ver se sua derivada está multiplicando fora.

Resposta

\dfrac{1}{2}\sin\!\left(t^{2}\right)+C

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