Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função
. A informação dada é exatamente a expressão a integrar:
Não há outras condições (por ex., limites) — então queremos uma primitiva geral, isto é, a antiderivada mais constante de integração
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do que vamos usar): vamos usar a técnica de substituição (às vezes chamada de mudança de variável). Essa técnica é a “inversa” da regra da cadeia da diferenciação. A regra geral é:
Aqui
é a função que está “dentro” (o argumento) e
aparece multiplicando fora. A substituição transforma a integral para uma em
, que costuma ser mais simples. Vou explicar cada símbolo:
é a nova variável,
é a derivada de
em relação a
,
significa
. Depois da integral em
resolvida, voltamos trocando
por
.
Passo 3
Escolha da substituição conveniente: observe que o argumento do cosseno é
. Faz sentido tentar
Agora calcule
. Diferenciando
em relação a
dá
Queremos substituir
na integral; isolamos:
Passo 4
Substituição na integral: trocando
por
e
por
, obtemos
Como
é constante, podemos tirar na frente:
Passo 5
Integração em
: sabemos que uma primitiva de
é
, pois
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volta para a variável original: substituímos
de volta:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta para checar se volta ao integrando. Usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando, logo a primitiva está correta.
Passo 8
Um exemplo adicional curto para fixar: para
faça
, então
e a integral vira
. O mesmo padrão aparece aqui: detectar a parte interna e ver se sua derivada está multiplicando fora.