Calcule as integrais abaixo:
\int x \ln (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \ln(3x)\,dx.
Informações dadas:
\;x é a variável de integração;
a função a integrar é x\ln(3x);
queremos uma primitiva (ou seja, a família de funções cuja derivada é x\ln(3x)), incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Observação útil (identidade de logaritmo) — eu vou usar que o logarítmo de um produto se separa:
\ln(3x)=\ln 3+\ln x.
Usando linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral), temos:
\int x\ln(3x)\,dx = \int x(\ln 3+\ln x)\,dx = \int x\ln 3\,dx + \int x\ln x\,dx.
Como \ln 3 é constante (não depende de x), podemos escrever:
\int x\ln 3\,dx = \ln 3 \int x\,dx.
Assim a tarefa se reduz a calcular \int x\,dx e \int x\ln x\,dx.

Passo 3

Calcule \int x\,dx. Isto é uma integral básica de potência.
A regra é: para \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C (quando n\neq -1).
Aqui x = x^1, então
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Portanto o primeiro termo da soma vale
\ln 3 \int x\,dx = \ln 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2}\ln 3.

Passo 4

Agora calculamos \int x\ln x\,dx usando integração por partes.
Primeiro, a fórmula da integração por partes vem da regra do produto: se u=u(x) e v=v(x) então (uv)'=u'v+uv'. Integrando ambos os lados obtemos
\int u'v\,dx = uv - \int uv'\,dx,
ou, trocando nomes, a fórmula clássica
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Nessa fórmula:
  • u é uma função que escolhemos para derivar (produz du);
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (produz v).
Escolha prática para \int x\ln x\,dx:
escolho u=\ln x (porque derivando fica simples: du=\dfrac{1}{x}dx) e dv = x\,dx (porque integrando fica simples: v=\dfrac{x^2}{2}).
Calculemos du e v:
du = \frac{1}{x}\,dx,\qquad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Agora aplicamos a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x\ln x\,dx = \left(\ln x\right)\left(\frac{x^2}{2}\right) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando dentro da integral:
\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{2},
logo
\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx.

Passo 5

Calcule \int \dfrac{x}{2}\,dx. Tirando a constante 1/2 para fora:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}.
Substituindo no resultado da integração por partes:
\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.

Passo 6

Voltemos à integral original, lembrando que já tínhamos separado os termos:
\int x\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln 3 + \int x\ln x\,dx.
Substituindo o que encontramos para \int x\ln x\,dx:
\int x\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln 3 + \left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) + C,
onde juntei as constantes de integração num único C.
Agora somamos os termos que têm x^2/2:
\frac{x^2}{2}\ln 3 + \frac{x^2}{2}\ln x = \frac{x^2}{2}(\ln 3+\ln x) = \frac{x^2}{2}\ln(3x).
Portanto a expressão simplificada é
\int x\ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \frac{x^2}{4} + C.

Resposta

\frac{x^2}{2}\ln(3x) - \frac{x^2}{4} + C

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