Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
é a variável de integração;
a função a integrar é ;
queremos uma primitiva (ou seja, a família de funções cuja derivada é ), incluindo a constante de integração
.
a função a integrar é
queremos uma primitiva (ou seja, a família de funções cuja derivada é
Passo 2
Observação útil (identidade de logaritmo) — eu vou usar que o logarítmo de um produto se separa:
Usando linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral), temos:
Como
é constante (não depende de
), podemos escrever:
Assim a tarefa se reduz a calcular
e
.
Passo 3
Calcule
. Isto é uma integral básica de potência.
A regra é: para (quando
).
Aqui , então
A regra é: para
Aqui
Portanto o primeiro termo da soma vale
Passo 4
Agora calculamos
usando integração por partes.
Primeiro, a fórmula da integração por partes vem da regra do produto: se e
então
. Integrando ambos os lados obtemos
Primeiro, a fórmula da integração por partes vem da regra do produto: se
ou, trocando nomes, a fórmula clássica
Nessa fórmula:
-
é uma função que escolhemos para derivar (produz ); -
é a parte que escolhemos para integrar (produz ).
Escolha prática para
:
escolho (porque derivando fica simples:
) e
(porque integrando fica simples:
).
escolho
Calculemos
e
:
Agora aplicamos a fórmula
:
Simplificando dentro da integral:
logo
Passo 5
Calcule
. Tirando a constante
para fora:
Substituindo no resultado da integração por partes:
onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Voltemos à integral original, lembrando que já tínhamos separado os termos:
Substituindo o que encontramos para
:
onde juntei as constantes de integração num único
.
Agora somamos os termos que têm :
Agora somamos os termos que têm
Portanto a expressão simplificada é