Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: integrando é o produto de
(uma função polinomial) e
(uma função exponencial). O que se espera é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não esqueça da constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método e fórmula utilizada. Para integrais de produto onde uma das partes é polinomial e a outra é exponencial, o método mais direto é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Aqui
é uma função que escolhemos para diferenciar (produz uma forma mais simples) e
é a parte que vamos integrar. Após escolher
e
calculamos
(derivada de
) e
(uma primitiva de
). A escolha prática: polinômios normalmente viram
mais simples ao derivar, então escolhemos
e
.
Passo 3
Calcular
e
para as escolhas feitas.
Escolhemos
Escolhemos
Derivando
obtemos
Para
precisamos integrar
. Usamos a regra
(com
). Aqui
, logo
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes substituindo os valores encontrados:
Substituindo,
Isso é
Agora calculamos a integral restante usando a mesma regra de exponencial:
Portanto
Somando as partes:
Passo 5
Simplificar o resultado fatorando
. Fator comum
:
Logo uma forma mais compacta da primitiva é
Passo 6
Verificação (derivação da primitiva encontrada para conferir que volta ao integrando). Seja
Usando a regra do produto e que
, temos
Fatorando
:
Confere: a derivada de
é exatamente o integrando
, então a primitiva está correta.