Calcule as integrais abaixo
\int x e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x e^{-2 x}\, d x.
Informações dadas: integrando é o produto de x (uma função polinomial) e e^{-2x} (uma função exponencial). O que se espera é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x e^{-2x}. Não esqueça da constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método e fórmula utilizada. Para integrais de produto onde uma das partes é polinomial e a outra é exponencial, o método mais direto é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para diferenciar (produz uma forma mais simples) e dv é a parte que vamos integrar. Após escolher u e dv calculamos du (derivada de u) e v (uma primitiva de dv). A escolha prática: polinômios normalmente viram du mais simples ao derivar, então escolhemos u=x e dv=e^{-2x}\,dx.

Passo 3

Calcular du e v para as escolhas feitas.
Escolhemos
u = x,\qquad dv = e^{-2x}\,dx.
Derivando u obtemos
du = dx.
Para v precisamos integrar dv. Usamos a regra \int e^{a x}\,dx = \dfrac{1}{a} e^{a x} (com a\neq0). Aqui a=-2, logo
v = \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2} e^{-2x}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes substituindo os valores encontrados:
\int x e^{-2x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo,
\int x e^{-2x}\,dx = x\left(-\tfrac{1}{2} e^{-2x}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2} e^{-2x}\right)\,dx.
Isso é
\int x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2} e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx.
Agora calculamos a integral restante usando a mesma regra de exponencial:
\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2} e^{-2x}.
Portanto
\tfrac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx = \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2} e^{-2x}\right) = -\tfrac{1}{4} e^{-2x}.
Somando as partes:
\int x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2} e^{-2x} - \tfrac{1}{4} e^{-2x} + C.

Passo 5

Simplificar o resultado fatorando e^{-2x}. Fator comum -\tfrac{1}{4} e^{-2x}:
-\tfrac{x}{2} e^{-2x} - \tfrac{1}{4} e^{-2x} = -\tfrac{e^{-2x}}{4}(2x+1).
Logo uma forma mais compacta da primitiva é
-\tfrac{e^{-2x}}{4}(2x+1) + C.

Passo 6

Verificação (derivação da primitiva encontrada para conferir que volta ao integrando). Seja
F(x) = -\tfrac{e^{-2x}}{4}(2x+1).
Usando a regra do produto e que \dfrac{d}{dx}e^{-2x}=-2e^{-2x}, temos
F'(x) = -\tfrac{1}{4}\left[ (2)\,e^{-2x} + (2x+1)(-2)e^{-2x} \right].
Fatorando e^{-2x}:
F'(x) = -\tfrac{e^{-2x}}{4}\left[2 -2(2x+1)\right] = -\tfrac{e^{-2x}}{4}\left[2 -4x -2\right] = -\tfrac{e^{-2x}}{4}(-4x) = x e^{-2x}.
Confere: a derivada de F é exatamente o integrando x e^{-2x}, então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{e^{-2x}}{4}(2x+1)+C

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