Resolva as EDO’s:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=\ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''-y'=\ln(x).
Informações e observações úteis dadas pelo enunciado:
  • A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes e termo não-homogêneo \ln(x).
  • O termo \ln(x) está definido apenas para x>0, então a solução será buscada em x>0.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (com constantes arbitrárias), ou seja, a família de todas as soluções da EDO.

Passo 2

Vamos começar reduzindo a ordem: faça a substituição
p(x)=y'(x).
Com isso y''=p' e a EDO passa a ser uma equação de primeira ordem para p:
p'-p=\ln(x).
Esta é uma equação linear de primeira ordem na forma padrão p'+a(x)p=b(x) com a(x)=-1 e b(x)=\ln(x). Vou resolver essa equação primeiro.
Explicação curta do método que usarei (fórmula do fator integrante): para uma equação da forma p'+a(x)p=b(x) o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int a(x)\,dx},
e a solução geral satisfaz
\big(\mu(x)p(x)\big)'=\mu(x)b(x),
que integrando dá \mu(x)p(x)=\int \mu(x)b(x)\,dx + C.

Passo 3

Calcule o fator integrante para p'-p=\ln(x):
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{-x}p' - e^{-x}p = e^{-x}\ln(x),
e o lado esquerdo é a derivada de e^{-x}p. Assim
\big(e^{-x}p\big)' = e^{-x}\ln(x).
Integramos ambos os lados:
e^{-x}p(x)=\int e^{-x}\ln(x)\,dx + C.

Passo 4

Agora precisamos avaliar \displaystyle \int e^{-x}\ln(x)\,dx. Usamos integração por partes:
escolha u=\ln(x) (então du=\dfrac{1}{x}\,dx) e dv=e^{-x}\,dx (então v=-e^{-x}). Assim
\int e^{-x}\ln(x)\,dx = -e^{-x}\ln(x) + \int e^{-x}\frac{1}{x}\,dx.
A integral \displaystyle \int \frac{e^{-x}}{x}\,dx não pode ser expressa em termos de funções elementares; ela é expressa pela função exponencial integral. Usamos a função
\operatorname{Ei}(z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{e^{t}}{t}\,dt
(essa é uma definição padrão; para argumentos negativos encontramos valores reais). Uma identidade útil é
\frac{d}{dx}\operatorname{Ei}(-x)=\frac{e^{-x}}{x},
logo
\int \frac{e^{-x}}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(-x)+\text{const}.
Portanto uma primitiva conveniente para \int e^{-x}\ln(x)\,dx é
\int e^{-x}\ln(x)\,dx = -e^{-x}\ln(x) + \operatorname{Ei}(-x).

Passo 5

Voltando à expressão para p, podemos escolher a primitiva acima (constantes de integração serão absorvidas nas constantes finais). Temos
e^{-x}p(x)= -e^{-x}\ln(x) + \operatorname{Ei}(-x) + C.
Multiplicando por e^{x},
p(x)=y'(x) = -\ln(x) + e^{x}\operatorname{Ei}(-x) + C e^{x},
onde C é uma constante arbitrária.
Observação: o termo C e^{x} corresponde, após integração, a uma constante multiplicando e^{x} na solução y, isto é, faz parte da solução homogênea.

Passo 6

Agora integramos p=y' para obter y. Integramos termo a termo:
  • Para \displaystyle \int -\ln(x)\,dx usamos integração por partes simples: \displaystyle \int \ln(x)\,dx = x\ln(x)-x. Logo
\int -\ln(x)\,dx = -x\ln(x)+x.
  • Para \displaystyle \int C e^{x}\,dx obtemos C e^{x} (ou melhor C_2 e^{x} como constante de integração).
  • Para \displaystyle \int e^{x}\operatorname{Ei}(-x)\,dx podemos evitar calcular essa integral diretamente porque já tínhamos, em passos anteriores (variação de parâmetros), uma forma mais direta da solução particular. Usando a identidade derivada previamente, é mais simples reconstituir a solução particular como
y_p(x) = -\int \ln(x)\,dx + e^{x}\int e^{-x}\ln(x)\,dx.
Substituindo as primitivas encontradas:
y_p(x) = \big(-x\ln(x)+x\big) + e^{x}\big(-e^{-x}\ln(x)+\operatorname{Ei}(-x)\big).
Agora simplificamos:
y_p(x) = -x\ln(x)+x -\ln(x) + e^{x}\operatorname{Ei}(-x) = -(x+1)\ln(x) + x + e^{x}\operatorname{Ei}(-x).

Passo 7

A solução geral combina a solução homogênea e a solução particular. A solução homogênea de y''-y'=0 tem base de soluções \{1,e^{x}\}, então a geral é
y(x)=A + B e^{x} + y_p(x),
com A,B constantes arbitrárias. Substituindo y_p achado:
y(x)=A + B e^{x} + e^{x}\operatorname{Ei}(-x) - (x+1)\ln(x) + x,
válida para x>0. Note que a função \operatorname{Ei}(-x) aparece porque a integral \int e^{-x}/x\,dx não é elementar; isso é esperado e aceitável em soluções de EDOs.

Resposta

y(x)=A + B e^{x} + e^{x}\operatorname{Ei}(-x) - (x+1)\ln(x) + x

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