Resolva as EDO’s:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
Informações e observações úteis dadas pelo enunciado:
- A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
. - O termo
está definido apenas para , então a solução será buscada em . - O objetivo é encontrar a solução geral
(com constantes arbitrárias), ou seja, a família de todas as soluções da EDO.
Passo 2
Vamos começar reduzindo a ordem: faça a substituição
Com isso
e a EDO passa a ser uma equação de primeira ordem para
:
Esta é uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
com
e
. Vou resolver essa equação primeiro.
Explicação curta do método que usarei (fórmula do fator integrante): para uma equação da forma
o fator integrante é
e a solução geral satisfaz
que integrando dá
.
Passo 3
Calcule o fator integrante para
:
Multiplicando a equação por
obtemos
e o lado esquerdo é a derivada de
. Assim
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Agora precisamos avaliar
. Usamos integração por partes:
escolha (então
) e
(então
). Assim
escolha
A integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares; ela é expressa pela função exponencial integral. Usamos a função
(essa é uma definição padrão; para argumentos negativos encontramos valores reais). Uma identidade útil é
logo
Portanto uma primitiva conveniente para
é
Passo 5
Voltando à expressão para
, podemos escolher a primitiva acima (constantes de integração serão absorvidas nas constantes finais). Temos
Multiplicando por
,
onde
é uma constante arbitrária.
Observação: o termo
corresponde, após integração, a uma constante multiplicando
na solução
, isto é, faz parte da solução homogênea.
Passo 6
Agora integramos
para obter
. Integramos termo a termo:
- Para
usamos integração por partes simples: . Logo
- Para
obtemos (ou melhor como constante de integração). - Para
podemos evitar calcular essa integral diretamente porque já tínhamos, em passos anteriores (variação de parâmetros), uma forma mais direta da solução particular. Usando a identidade derivada previamente, é mais simples reconstituir a solução particular como
Substituindo as primitivas encontradas:
Agora simplificamos:
Passo 7
A solução geral combina a solução homogênea e a solução particular. A solução homogênea de
tem base de soluções
, então a geral é
com
constantes arbitrárias. Substituindo
achado:
válida para
. Note que a função
aparece porque a integral
não é elementar; isso é esperado e aceitável em soluções de EDOs.