O enunciado dá as condições de contorno e iniciais e pede a solução da equação da onda (assumimos a equação da onda padrão). Dados e perguntas explícitas:
Condições de contorno: u(0,t)=0 e u(L,t)=0.
Condições iniciais: u(x,0)=\dfrac{1}{4}x(L-x) e \left.\dfrac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=0.
O problema pede encontrar u(x,t) que satisfaça a equação da onda (assumimos a forma usual)
u_{tt}=c^{2}u_{xx},
com 0<x<L e t>0, sujeita às condições dadas.
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação amigável): vamos usar separação de variáveis e expansão em série de senos (série de Fourier em senos). Motivo: as condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(L,t)=0 sugerem procurar modos próprios em x que se anulam nas extremidades — esses modos são funções \sin que formam uma base ortogonal. Este método é padrão para a equação da onda em uma barra com extremidades fixas e converte o PDE em equações ordinárias para os coeficientes temporais, que são fáceis de resolver. Vamos fazer passo a passo sem pular etapas.
Passo 3
Separação de variáveis e problema de autovalores (aula curta e prática):
Procuramos soluções do tipo separável u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo em u_{tt}=c^2 u_{xx} obtemos
onde \lambda é a constante de separação. Assim obtemos dois ODEs:
X''+\lambda X=0,\qquad T''+c^{2}\lambda T=0.
As condições de contorno em X são X(0)=0 e X(L)=0. Para não ter solução trivial devemos escolher \lambda>0 com valores discretos (autovalores). Esses autovalores e autofunções são
onde \omega_n=c\frac{n\pi}{L}. Aqui os coeficientes A_n e B_n são determinados pelas condições iniciais. Observação rápida sobre ortogonalidade (fórmula que usaremos): para inteiros m,n\ge1,
Simplificação usando k=\dfrac{n\pi}{L} e valores trigonométricos em kL:
Observamos que kL=n\pi. Então \sin(kL)=\sin(n\pi)=0 e \cos(kL)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}. Assim I_n simplifica para