Calcule as integrais abaixo
\int_{1}^{2} x \mathrm{e}^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x\,\mathrm{e}^{x^{2}}.
  • Os limites de integração são x=1 e x=2.
    O que se precisa encontrar:
  • O valor numérico exato (em forma simbólica) dessa integral definida.

Passo 2

Escolha de uma estratégia: vamos tentar simplificar a integral por substituição. A ideia é procurar uma parte da expressão cuja derivada apareça multiplicando-a — isso facilita porque a derivada compõe diretamente o diferencial. Aqui vemos x multiplicando \mathrm{e}^{x^{2}}. Note que a derivada de x^{2} é 2x, ou seja, aparece um termo proporcional a x. Isso sugere a substituição
u = x^{2}.
Explicação didática: a substituição u = x^{2} transforma a expressão complicada \mathrm{e}^{x^{2}} em simplesmente \mathrm{e}^{u}, e o x\,dx vira algo em termos de du. É o padrão típico: se você tem f'(x)\cdot g(f(x)) geralmente substitui u=f(x).

Passo 3

Calcule o diferencial e expresse x\,dx em termos de du:
u = x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Comentário: isso permite trocar todo o x\,dx da integral por \frac{1}{2}du.

Passo 4

Mude os limites de integração para a nova variável u. Como u=x^{2}:
  • quando x=1, u=1^{2}=1;
  • quando x=2, u=2^{2}=4.
    Portanto os novos limites são u=1 a u=4.

Passo 5

Reescreva a integral original em termos de u usando as relações encontradas:
\int_{1}^{2} x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=4} \mathrm{e}^{u}\left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int_{1}^{4} \mathrm{e}^{u}\,du.
Explicação didática: substituímos \mathrm{e}^{x^{2}} por \mathrm{e}^{u} e x\,dx por \frac{1}{2}du, e ajustamos os limites para u.

Passo 6

Calcule a integral em u. Sabemos que a integral da função exponencial é ela mesma:
\int \mathrm{e}^{u}\,du = \mathrm{e}^{u} + C.
Aplicando isso à integral definida:
\frac{1}{2}\int_{1}^{4} \mathrm{e}^{u}\,du = \frac{1}{2}\big[\mathrm{e}^{u}\big]_{1}^{4} = \frac{1}{2}\big(\mathrm{e}^{4}-\mathrm{e}^{1}\big).
Comentário: \mathrm{e}^{1} é simplesmente \mathrm{e}.

Passo 7

Simplifique a expressão final:
\frac{1}{2}\big(\mathrm{e}^{4}-\mathrm{e}\big) = \frac{\mathrm{e}^{4}-\mathrm{e}}{2}.
Dica prática: para integrais do tipo \int x\,\mathrm{e}^{x^{2}}dx (indefinida), o resultado geral é \frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}}+C. Outro exemplo rápido para fixar: \int x\cos(x^{2})dx = \frac{1}{2}\sin(x^{2})+C, mesma ideia de substituição u=x^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{4}-\mathrm{e}}{2}

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