Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
O que se precisa encontrar: - O valor numérico exato (em forma simbólica) dessa integral definida.
Passo 2
Escolha de uma estratégia: vamos tentar simplificar a integral por substituição. A ideia é procurar uma parte da expressão cuja derivada apareça multiplicando-a — isso facilita porque a derivada compõe diretamente o diferencial. Aqui vemos
multiplicando
. Note que a derivada de
é
, ou seja, aparece um termo proporcional a
. Isso sugere a substituição
Explicação didática: a substituição
transforma a expressão complicada
em simplesmente
, e o
vira algo em termos de
. É o padrão típico: se você tem
geralmente substitui
.
Passo 3
Calcule o diferencial e expresse
em termos de
:
Isolando
obtemos
Comentário: isso permite trocar todo o
da integral por
.
Passo 4
Mude os limites de integração para a nova variável
. Como
:
- quando
, ; - quando
, .
Portanto os novos limites sãoa .
Passo 5
Reescreva a integral original em termos de
usando as relações encontradas:
Explicação didática: substituímos
por
e
por
, e ajustamos os limites para
.
Passo 6
Calcule a integral em
. Sabemos que a integral da função exponencial é ela mesma:
Aplicando isso à integral definida:
Comentário:
é simplesmente
.
Passo 7
Simplifique a expressão final:
Dica prática: para integrais do tipo
(indefinida), o resultado geral é
. Outro exemplo rápido para fixar:
, mesma ideia de substituição
.