Seguindo o roteiro: domínio, intersecções com os eixos, simetria, assíntotas, intervalos de crescimento ou decrescimento, valores máximos e mínimos locais e concavidade e pontos de inflexão; esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função $ f(x) = x^{3} - 3x + 3 $. Para isso, vamos seguir um roteiro que inclui analisar o domínio, as intersecções com os eixos, verificar simetria, possíveis assíntotas, identificar intervalos de crescimento ou decrescimento, encontrar valores máximos e mínimos locais, e analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Vamos usar conceitos de cálculo e álgebra para isso.
Passo 2
Dominio: Primeiro, vamos ver qual é o conjunto de valores de $ x $ para os quais a função está definida. Como não temos divisões por zero ou raízes de números negativos, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Intersecções com os Eixos:
- Interseção com o Eixo Y: Para encontrar onde a função cruza o eixo Y, calculamos $ f(0) $:
Então, a interseção com o eixo Y é no ponto $ (0, 3) $.
- Interseção com o Eixo X: Para encontrar onde a função cruza o eixo X, resolvemos $ f(x) = 0 $:
Essa equação cúbica pode ser resolvida tentando raízes racionais. Testando $ x = -1 $:
Testando $ x = 1 $:
Parece que não há raízes racionais simples, então vamos usar uma aproximação numérica ou métodos gráficos para encontrar as interseções com o eixo X.
Passo 4
Simetria:
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
- Função Par: $ f(-x) = f(x) $
- Função Ímpar: $ f(-x) = -f(x) $
Calculando $ f(-x) $:
Comparando com $ f(x) = x^{3} - 3x + 3 $, vemos que $ f(-x) \neq f(x) $ e $ f(-x) \neq -f(x) $. Portanto, a função não possui simetria.
Passo 5
Assíntotas:
Funções polinomiais como $ f(x) = x^{3} - 3x + 3 $ não têm assíntotas, pois para $ x $ tendendo ao infinito positivo ou negativo, a função também tende ao infinito positivo ou negativo, sem se aproximar de uma linha específica.
Passo 6
Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos calcular a primeira derivada:
Agora, encontramos onde $ f’(x) = 0 $:
Esses são os pontos críticos. Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo:
- Para $ x < -1 $: Escolha $ x = -2 $:
- Para $ -1 < x < 1 $: Escolha $ x = 0 $:
- Para $ x > 1 $: Escolha $ x = 2 $:
Passo 7
Valores Máximos e Mínimos Locais:
Nos pontos onde a derivada é zero, podemos ter máximos ou mínimos locais.
- Em $ x = -1 $:
Como a função passa de crescente para decrescente, $ x = -1 $ é um ponto de máximo local.
Então, temos um máximo local em $ (-1, 5) $.
- Em $ x = 1 $:
A função passa de decrescente para crescente, então $ x = 1 $ é um ponto de mínimo local.
Portanto, há um mínimo local em $ (1, 1) $.
Passo 8
Concavidade e Pontos de Inflexão:
Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade:
- Quando $ f’’(x) > 0 $: Concavidade para cima.
- Quando $ f’’(x) < 0 $: Concavidade para baixo.
Encontramos onde $ f’’(x) = 0 $:
Este é um ponto de inflexão. Vamos verificar:
- Para $ x < 0 $: ( f’’(x) < 0 \Rightarrow Concavidade para baixo.
- Para $ x > 0 $: ( f’’(x) > 0 \Rightarrow Concavidade para cima.
Então, há um ponto de inflexão em $ x = 0 $.
Calculando $ f(0) = 3 $, o ponto de inflexão é $ (0, 3) $.
Resposta
Resumindo tudo, o gráfico da função $ f(x) = x^{3} - 3x + 3 $ tem:
- Domínio: Todos os números reais.
- Interseção com o eixo Y: $ (0, 3) $.
- Não possui simetria.
- Não tem assíntotas.
- É crescente para $ x < -1 $ e $ x > 1 $, e decrescente entre $ -1 $ e $ 1 $.
- Possui um máximo local em $ (-1, 5) $ e um mínimo local em $ (1, 1) $.
- Tem um ponto de inflexão em $ (0, 3) $, onde a concavidade muda.
Com todas essas informações, dá para esboçar o gráfico da função!