Seguindo o roteiro: domínio, intersecções com os eixos, simetria, assíntotas, intervalos de crescimento ou decrescimento, valores máximos e mínimos locais e concavidade e pontos de inflexão; esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=x^3-3 x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função $ f(x) = x^{3} - 3x + 3 $. Para isso, vamos seguir um roteiro que inclui analisar o domínio, as intersecções com os eixos, verificar simetria, possíveis assíntotas, identificar intervalos de crescimento ou decrescimento, encontrar valores máximos e mínimos locais, e analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Vamos usar conceitos de cálculo e álgebra para isso.

Passo 2

Dominio: Primeiro, vamos ver qual é o conjunto de valores de $ x $ para os quais a função está definida. Como não temos divisões por zero ou raízes de números negativos, o domínio é todos os números reais.
x í

Passo 3

Intersecções com os Eixos:
  • Interseção com o Eixo Y: Para encontrar onde a função cruza o eixo Y, calculamos $ f(0) $:
f(0)
Então, a interseção com o eixo Y é no ponto $ (0, 3) $.
  • Interseção com o Eixo X: Para encontrar onde a função cruza o eixo X, resolvemos $ f(x) = 0 $:
f(0) = 0^3 - 3 cdot 0 + 3 = 3
Essa equação cúbica pode ser resolvida tentando raízes racionais. Testando $ x = -1 $:
(0, 3)
Testando $ x = 1 $:
f(x) = 0
Parece que não há raízes racionais simples, então vamos usar uma aproximação numérica ou métodos gráficos para encontrar as interseções com o eixo X.

Passo 4

Simetria:
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
  • Função Par: $ f(-x) = f(x) $
  • Função Ímpar: $ f(-x) = -f(x) $
Calculando $ f(-x) $:
f(-x) = f(x)
Comparando com $ f(x) = x^{3} - 3x + 3 $, vemos que $ f(-x) \neq f(x) $ e $ f(-x) \neq -f(x) $. Portanto, a função não possui simetria.

Passo 5

Assíntotas:
Funções polinomiais como $ f(x) = x^{3} - 3x + 3 $ não têm assíntotas, pois para $ x $ tendendo ao infinito positivo ou negativo, a função também tende ao infinito positivo ou negativo, sem se aproximar de uma linha específica.

Passo 6

Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos calcular a primeira derivada:
f'(x) = ddx(x^3 - 3x + 3) = 3x^2 - 3
Agora, encontramos onde $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Esses são os pontos críticos. Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo:
  • Para $ x < -1 $: Escolha $ x = -2 $:
3x^2 - 3 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
  • Para $ -1 < x < 1 $: Escolha $ x = 0 $:
x < -1
  • Para $ x > 1 $: Escolha $ x = 2 $:
x = -2

Passo 7

Valores Máximos e Mínimos Locais:
Nos pontos onde a derivada é zero, podemos ter máximos ou mínimos locais.
  • Em $ x = -1 $:
Como a função passa de crescente para decrescente, $ x = -1 $ é um ponto de máximo local.
x = -1
Então, temos um máximo local em $ (-1, 5) $.
  • Em $ x = 1 $:
A função passa de decrescente para crescente, então $ x = 1 $ é um ponto de mínimo local.
x = -1
Portanto, há um mínimo local em $ (1, 1) $.

Passo 8

Concavidade e Pontos de Inflexão:
Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade:
f''(x) = ddx(3x^2 - 3) = 6x
  • Quando $ f’’(x) > 0 $: Concavidade para cima.
  • Quando $ f’’(x) < 0 $: Concavidade para baixo.
Encontramos onde $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) > 0
Este é um ponto de inflexão. Vamos verificar:
  • Para $ x < 0 $: ( f’’(x) < 0 \Rightarrow Concavidade para baixo.
  • Para $ x > 0 $: ( f’’(x) > 0 \Rightarrow Concavidade para cima.
Então, há um ponto de inflexão em $ x = 0 $.
Calculando $ f(0) = 3 $, o ponto de inflexão é $ (0, 3) $.

Resposta

Resumindo tudo, o gráfico da função $ f(x) = x^{3} - 3x + 3 $ tem:
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Interseção com o eixo Y: $ (0, 3) $.
  • Não possui simetria.
  • Não tem assíntotas.
  • É crescente para $ x < -1 $ e $ x > 1 $, e decrescente entre $ -1 $ e $ 1 $.
  • Possui um máximo local em $ (-1, 5) $ e um mínimo local em $ (1, 1) $.
  • Tem um ponto de inflexão em $ (0, 3) $, onde a concavidade muda.
Com todas essas informações, dá para esboçar o gráfico da função!

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