Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial.
y^prime prime-2 y^prime+y=t e^t+4 y(0)=1 y^prime(0)=1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO de segunda ordem com condições iniciais
EDO: y’’ - 2y’ + y = t e^t + 4
Condições iniciais: y(0)=1, y’(0)=1
Conteúdo: transformada de Laplace; vamos usar as fórmulas de L{y’}, L{y’’} e as transformadas de t e de constantes.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em toda a equação. Seja Y(s)=L{y(t)}, lembrando que
L{y’}=sY(s)-y(0),
L{y’’}=s^2Y(s)-s y(0)-y’(0),
L{t et}=\frac{1}{(s-1)2},
L{4}=\frac{4}{s}.
Logo temos:
(s^2Y - s -1) -2(sY -1) + Y = 1(s-1)^2 + 4s

Passo 3

Isolando Y(s): agrupe os termos em Y(s) e passe o resto para o lado direito:
(s^2 -2s +1)Y(s) -s +1 = 1(s-1)^2 + 4s
Como s2-2s+1=(s-1)2, temos
(s-1)^2Y(s)=1(s-1)^2 + 4s + s -1
e portanto
Y(s)=1(s-1)^4 + 1(s-1) + 4s(s-1)^2

Passo 4

Decompondo tfrac4s(s-1)^2 em frações parciais: suponha
1s(s-1)^2=As+Bs-1+C(s-1)^2
Multiplicando por s(s-1)^2 e igualando coeficientes obtém-se
A=1, B=-1, C=1. Então
4s(s-1)^2=4l(1s-1s-1+1(s-1)^2r)

Passo 5

Invertendo termo a termo usando transformadas conhecidas:
  • L{-1}{(s-1){-4}}=\tfrac{t3}{6}et
  • L{-1}{(s-1){-1}}=e^t
  • L^{-1}{4/s}=4
  • L{-1}{-4/(s-1)}=-4et
  • L{-1}{4/(s-1)2}=4t e^t
Somando tudo, o sinal e os coeficientes resultam na solução.

Passo 6

Resposta final obtida combinando todos os termos inversos:

Resposta

y(t)=4 - 3e^t + 4t e^t + \tfrac{t3}{6}et

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