Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO de segunda ordem com condições iniciais
EDO: y’’ - 2y’ + y = t e^t + 4
Condições iniciais: y(0)=1, y’(0)=1
Conteúdo: transformada de Laplace; vamos usar as fórmulas de L{y’}, L{y’’} e as transformadas de t e de constantes.
EDO: y’’ - 2y’ + y = t e^t + 4
Condições iniciais: y(0)=1, y’(0)=1
Conteúdo: transformada de Laplace; vamos usar as fórmulas de L{y’}, L{y’’} e as transformadas de t e de constantes.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em toda a equação. Seja Y(s)=L{y(t)}, lembrando que
L{y’}=sY(s)-y(0),
L{y’’}=s^2Y(s)-s y(0)-y’(0),
L{t et}=\frac{1}{(s-1)2},
L{4}=\frac{4}{s}.
L{y’’}=s^2Y(s)-s y(0)-y’(0),
L{t et}=\frac{1}{(s-1)2},
L{4}=\frac{4}{s}.
Logo temos:
Passo 3
Isolando Y(s): agrupe os termos em Y(s) e passe o resto para o lado direito:
Como s2-2s+1=(s-1)2, temos
e portanto
Passo 4
Decompondo
em frações parciais: suponha
Multiplicando por
e igualando coeficientes obtém-se
A=1, B=-1, C=1. Então
A=1, B=-1, C=1. Então
Passo 5
Invertendo termo a termo usando transformadas conhecidas:
- L{-1}{(s-1){-4}}=\tfrac{t3}{6}et
- L{-1}{(s-1){-1}}=e^t
- L^{-1}{4/s}=4
- L{-1}{-4/(s-1)}=-4et
- L{-1}{4/(s-1)2}=4t e^t
Somando tudo, o sinal e os coeficientes resultam na solução.
Passo 6
Resposta final obtida combinando todos os termos inversos:
Resposta
y(t)=4 - 3e^t + 4t e^t + \tfrac{t3}{6}et