Calcule as integrais abaixo:
integral x arccos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x,arccos(x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto de funções ( x e arccos(x)). Para isso, precisamos conhecer a derivada de arccos(x) e a primitiva de x.

Passo 2

Escolhemos u = arccos(x) e dv = x,dx. Então derivamos e integramos cada parte:
du = -1raiz1 - x^2,dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du. Assim:
integral x,arccos(x),dx = x^22,arccos(x) - integral x^22(-1raiz1 - x^2)dx = x^22arccos(x) + integral x^22raiz1 - x^2,dx

Passo 4

Para calcular integral x^22raiz1 - x^2,dx, fatoramos tfrac12 e escrevemos x^2 = 1 - (1 - x^2), obtendo:
12integral x^2raiz1 - x^2,dx = 12gl(integral 1raiz1 - x^2,dx - integral raiz1 - x^2,dxgr)

Passo 5

Sabemos que
integral 1raiz1 - x^2,dx = arcsin(x),
e também
integral raiz1 - x^2,dx = x2raiz1 - x^2 + 12arcsin(x)

Passo 6

Substituindo nessas duas parcelas:
12l(arcsin(x) - l(tfracx2raiz1 - x^2 + tfrac12arcsin(x)r)r) = 14arcsin(x) - x4raiz1 - x^2

Passo 7

Voltando à expressão principal, somamos tudo e adicionamos a constante de integração:

Resposta

x^22arccos(x) + 14arcsin(x) - x4raiz1 - x^2 + C

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