Resolva as equações diferenciais:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y^{\prime} = \cos(x) \cos^{2}(2 y) $. Essa questão envolve equações diferenciais de primeira ordem e o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $ e, em seguida, integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que os termos com $ y $ fiquem de um lado e os com $ x $ do outro. Começamos dividindo ambos os lados por $ \cos^{2}(2 y) $:
Passo 3
Agora, reconhecemos que $ \frac{1}{\cos^{2}(2 y)} $ é igual a $ \sec^{2}(2 y) $. Sabemos que a integral de $ \sec^{2}(u) $ em relação a $ u $ é $ \tan(u) $. Então, podemos integrar ambos os lados:
Passo 4
Vamos calcular as integrais. Para o lado esquerdo, fazemos uma substituição simples:
No lado direito:
Passo 5
Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração em uma só, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação é $ \tan(2 y) = 2 \sin(x) + C $, onde $ C $ é a constante de integração.