Calcule as integrais abaixo:
integral x sin (x+2) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral xsin(x+2),dx. O tema aqui é usar substituição para simplificar o argumento e depois integração por partes para lidar com o produto.

Passo 2

Fazendo a substituição t = x+2, temos x = t-2 e dx = dt. Então
integral xsin(x+2),dx = integral (t-2)sin t,dt

Passo 3

Pela linearidade, separamos em
integral (t-2)sin t,dt = integral tsin t,dt - 2integral sin t,dt

Passo 4

Para integral tsin t,dt aplicamos integração por partes: escolha u=t, dv=sin t,dt, logo du=dt e v=-cos t. Assim
integral tsin t,dt = u v - integral v,du = -tcos t - integral(-cos t),dt = -tcos t + integral cos t,dt = -tcos t + sin t

Passo 5

Além disso,
integral sin t,dt = -cos t

Passo 6

Juntando tudo:
integral (t-2)sin t,dt = l(-tcos t + sin tr) -2(-cos t) + C = -tcos t + sin t +2cos t + C

Passo 7

Voltando para x: t=x+2, então
-tcos t + sin t +2cos t = -(x+2)cos(x+2) + sin(x+2) +2cos(x+2)
Simplificando -2cos(x+2)+2cos(x+2) se anulam, sobrando
-xcos(x+2) + sin(x+2) + C

Resposta

-xcos(x+2)+sin(x+2)+C

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