Faça o que se pede:
a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide
, em termos de
.
b) Mostre que, se
, então a trocoide não tem reta tangente vertical.
a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide
b) Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre trocoide, que é uma curva gerada por um ponto fixo em um círculo que está rolando sem deslizar. O enunciado pede duas coisas:
a) Encontrar a inclinação da reta tangente à trocoide nas suas equações paramétricas dados em termos de $ t $.
b) Mostrar que, se $ d < r $, a trocoide não tem reta tangente vertical.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas de funções paramétricas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a). Temos as equações paramétricas da trocoide:
A inclinação da reta tangente a uma curva parametrizada é dada por:
Então, precisamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos derivar $ x $ em relação a $ t $:
Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ t $:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, podemos agora encontrar a inclinação $ m $:
Isso nos dá a inclinação da reta tangente à trocoide em termos de $ t $.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b). Queremos mostrar que, se $ d < r $, a trocoide não tem reta tangente vertical.
Uma reta tangente é vertical quando a inclinação $ m $ é infinita, ou seja, quando o denominador da expressão para $ m $ é zero:
Vamos resolver essa equação para ver se existe alguma solução para $ t $ quando $ d < r $.
Passo 6
A equação $ r - d \cos t = 0 $ implica:
No entanto, sabemos que o valor de $ \cos t $ está sempre entre -1 e 1. Então, para que essa equação tenha solução real, o valor de $ \frac{r}{d} $ deve estar dentro desse intervalo:
Passo 7
Se $ d < r $, então $ \frac{r}{d} > 1 $. Isso significa que $ \cos t $ teria que ser maior que 1 para a equação ser verdadeira, o que não é possível, já que $ \cos t $ nunca excede 1.
Portanto, quando $ d < r $, não existe valor de $ t $ que satisfaça $ r - d \cos t = 0 $, ou seja, não há reta tangente vertical na trocoide.
Resposta
a) A inclinação da reta tangente à trocoide em termos de $ t $ é $ m = \frac{d \sin t}{r - d \cos t} $.
b) Quando $ d < r $, a trocoide não possui reta tangente vertical.