Faça o que se pede:
a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide x=r t-d sen t, y=r-d cos t, em termos de t.
b) Mostre que, se d, então a trocoide não tem reta tangente vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre trocoide, que é uma curva gerada por um ponto fixo em um círculo que está rolando sem deslizar. O enunciado pede duas coisas:
a) Encontrar a inclinação da reta tangente à trocoide nas suas equações paramétricas dados em termos de $ t $.
b) Mostrar que, se $ d < r $, a trocoide não tem reta tangente vertical.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas de funções paramétricas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a). Temos as equações paramétricas da trocoide:
x = r t - d sin t
y = r - d cos t
A inclinação da reta tangente a uma curva parametrizada é dada por:
m = dy/dtdx/dt
Então, precisamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos derivar $ x $ em relação a $ t $:
x
Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ t $:
t

Passo 4

Com as derivadas em mãos, podemos agora encontrar a inclinação $ m $:
m
Isso nos dá a inclinação da reta tangente à trocoide em termos de $ t $.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b). Queremos mostrar que, se $ d < r $, a trocoide não tem reta tangente vertical.
Uma reta tangente é vertical quando a inclinação $ m $ é infinita, ou seja, quando o denominador da expressão para $ m $ é zero:
d < r
Vamos resolver essa equação para ver se existe alguma solução para $ t $ quando $ d < r $.

Passo 6

A equação $ r - d \cos t = 0 $ implica:
r - d cos t = 0
d cos t = r
No entanto, sabemos que o valor de $ \cos t $ está sempre entre -1 e 1. Então, para que essa equação tenha solução real, o valor de $ \frac{r}{d} $ deve estar dentro desse intervalo:
cos t = rd

Passo 7

Se $ d < r $, então $ \frac{r}{d} > 1 $. Isso significa que $ \cos t $ teria que ser maior que 1 para a equação ser verdadeira, o que não é possível, já que $ \cos t $ nunca excede 1.
Portanto, quando $ d < r $, não existe valor de $ t $ que satisfaça $ r - d \cos t = 0 $, ou seja, não há reta tangente vertical na trocoide.

Resposta

a) A inclinação da reta tangente à trocoide em termos de $ t $ é $ m = \frac{d \sin t}{r - d \cos t} $.
b) Quando $ d < r $, a trocoide não possui reta tangente vertical.

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