Mostre que
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Passo 1

O enunciado pede para mostrar que (\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{(x2+y2)z}{7(x2+y2+4z^2)}=0. O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis e vamos usar coordenadas esféricas junto com o Teorema do Confronto.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, definimos
x = rsinthetacosphi, y = rsinthetasinphi, z = rcostheta,
de modo que r=raizx^2+y^2+z^2. Substituindo na expressão, obtemos
(x^2+y^2)z7(x^2+y^2+4z^2) = (r^2sin^2theta)(rcostheta)7l(r^2sin^2theta +4r^2cos^2thetar) = r^3sin^2thetacostheta7r^2l(sin^2theta+4cos^2thetar) = rsin^2thetacostheta7(sin^2theta+4cos^2theta)

Passo 3

Note que no fator angular temos
l|sin^2thetacosthetar|<=1 e sin^2theta+4cos^2theta>=sin^2theta+cos^2theta=1
Logo
|sin^2thetacosthetasin^2theta+4cos^2theta|<=1
e assim
|(x^2+y^2)z7(x^2+y^2+4z^2)| = |rsin^2thetacostheta7(sin^2theta+4cos^2theta)| <= r7

Passo 4

Como r=raizx^2+y^2+z^2to0 quando (x,y,z)to(0,0,0), concluímos pelo Teorema do Confronto que

.

Resposta

0

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