1. Determine \alpha tal que \alpha=\operatorname{arc} \operatorname{tg} 1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \alpha tal que \alpha=\operatorname{arc\,tg}1.
Informação dada: o valor dentro da função inversa da tangente é 1.
Pergunta clara: encontrar o valor de \alpha que satisfaz isso.

Passo 2

Entender o que é \operatorname{arc\,tg}. A função \operatorname{arc\,tg} (ou \arctan) é a inversa da função tangente restrita ao intervalo principal \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Ou seja, \beta=\operatorname{arc\,tg} y significa que \beta\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) e
\tan\beta=y.
Portanto, para \alpha=\operatorname{arc\,tg}1 buscamos o único \alpha em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) tal que \tan\alpha=1.

Passo 3

Resolver a equação \tan\alpha=1. Primeiro a solução geral da equação \tan x=1 é
x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
porque a tangente tem período \pi e \tan\frac{\pi}{4}=1.

Passo 4

Aplicar a restrição do \operatorname{arc\,tg}: devemos escolher a solução que está em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Entre as soluções da forma \dfrac{\pi}{4}+k\pi, a única que pertence a esse intervalo é
\alpha=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Interpretação geométrica rápida (para fixar): \tan\theta=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}. Um triângulo retângulo isósceles com ângulos 45^\circ tem catetos iguais, logo \tan 45^\circ=1, e 45^\circ=\dfrac{\pi}{4} radianos. Isso confirma o resultado. Também, numericamente,
\frac{\pi}{4}\approx 0,785398\ldots

Resposta

\alpha=\dfrac{\pi}{4}

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