Faça o gráfico de f(x)=\operatorname{arctg}(x+2)

Passo 1

O enunciado pede: "Faça o gráfico de f(x)=\operatorname{arctg}(x+2)".
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\operatorname{arctg}(x+2).
  • Não há mais informações (logo devo usar propriedades da função arco-tangente e transformações de gráfico).

Passo 2

Entendendo a função básica \operatorname{arctg} x (aqui explico com calma do zero).
  • Definição e significado: \operatorname{arctg} x é a função inversa da tangente restrita ao intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Isso significa que \operatorname{arctg} x dá o ângulo \theta\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) tal que \tan\theta=x.
  • Domínio e imagem: \text{dom}(\operatorname{arctg} x)=\mathbb{R},\qquad \text{im}(\operatorname{arctg} x)=\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).Ou seja, \operatorname{arctg} x está definida para todo x e seus valores ficam entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2} (não incluindo essas extremidades).
  • Assimptotas horizontais: quando x\to+\infty temos \operatorname{arctg} x\to\tfrac{\pi}{2} e quando x\to-\infty temos \operatorname{arctg} x\to-\tfrac{\pi}{2}. Logo as retas y=\tfrac{\pi}{2} e y=-\tfrac{\pi}{2} são assíntotas horizontais do gráfico de \operatorname{arctg} x.
  • Comportamento típico e pontos conhecidos: \operatorname{arctg}0=0,\qquad \operatorname{arctg}1=\tfrac{\pi}{4},\qquad \operatorname{arctg}(-1)=-\tfrac{\pi}{4}.Esses pontos são úteis para esboçar a forma em “S” suave da curva.
  • Derivada (pendente): para a função básica vale \frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg} x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.Isso mostra que é uma função estritamente crescente (derivada positiva para todo x).
  • Inflection: a curva tem ponto de inflexão em x=0 (mudança de concavidade) para a \operatorname{arctg} x porque a segunda derivada muda de sinal em 0.

Passo 3

Entendendo a transformação: f(x)=\operatorname{arctg}(x+2) é a composição da função básica com x\mapsto x+2.
  • Regra de transformações horizontais: se g(x)=h(x+2), então o gráfico de g é o gráfico de h deslocado 2 unidades para a esquerda (porque cada x em g devolve o valor que h teria em x+2). Em outras palavras, para obter f pegamos o gráfico de \operatorname{arctg} x e deslocamos tudo 2 unidades para a esquerda.
  • Consequência prática: todos os pontos que sabíamos para \operatorname{arctg} x se movem para a esquerda 2 unidades; as assíntotas horizontais permanecem as mesmas (porque deslocamento horizontal não muda o limite em x\to\pm\infty no sentido dos valores y).

Passo 4

Aplicando a transformação aos elementos chave e calculando pontos.
  • Domínio e imagem: \text{dom}(f)=\mathbb{R},\qquad \text{im}(f)=\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).(deslocamento horizontal não altera domínio nem imagem neste caso).
  • Assíntotas horizontais: \lim_{x\to+\infty}\operatorname{arctg}(x+2)=\tfrac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to-\infty}\operatorname{arctg}(x+2)=-\tfrac{\pi}{2}.Logo as retas y=\tfrac{\pi}{2} e y=-\tfrac{\pi}{2} continuam sendo assíntotas horizontais do gráfico de f.
  • Interceptos e pontos fáceis:
    • Raiz ( x-intercept): resolvendo \operatorname{arctg}(x+2)=0 obtém-se x+2=0\Rightarrow x=-2. Então a curva passa por (-2,0).
    • Interseção com y-eixo ( x=0): f(0)=\operatorname{arctg}(2)\approx 1,107\\ \text{(radianos)}.
    • Alguns pontos úteis para esboçar (calculei valores exatos quando possível e aproximações): f(-4)=\operatorname{arctg}(-2)\approx -1,107,
f(-3)=\operatorname{arctg}(-1)=-\tfrac{\pi}{4}\approx -0,785,
f(-2)=0,
f(-1)=\operatorname{arctg}(1)=\tfrac{\pi}{4}\approx 0,785,
f(0)=\operatorname{arctg}(2)\approx 1,107,
f(1)=\operatorname{arctg}(3)\approx 1,249.
Essas coordenadas dão vários pontos ao longo da curva para conectar suavemente.
  • Observação sobre unidades: os valores estão em radianos (por isso aparecem \pi nas expressões).

Passo 5

Monotonicidade, derivada e concavidade — cálculo e interpretação (aqui explico as fórmulas usadas).
  • Derivada usando regra da cadeia: se f(x)=\operatorname{arctg}(u(x)) então f'(x)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}.No nosso caso u(x)=x+2 e u'(x)=1. Portanto f'(x)=\frac{1}{1+(x+2)^{2}}.Como 1+(x+2)^{2}>0 para todo x, temos f'(x)>0 em \mathbb{R}. Conclusão: f é estritamente crescente em todo o domínio.
  • Valor da derivada no ponto de inflexão/mudança: f'(-2)=\dfrac{1}{1+0}=1. Assim a inclinação no ponto (-2,0) é 1 (reta tangente com coeficiente angular 1).
  • Segunda derivada (para concavidade): derivando f'(x), f''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+(x+2)^{2}}\right) = -\frac{2(x+2)}{\bigl(1+(x+2)^{2}\bigr)^{2}}.O sinal de f''(x) é o sinal de -2(x+2). Logo:
    • Para x<-2 temos x+2<0\Rightarrow -2(x+2)>0\Rightarrow f''(x)>0: concavidade para cima.
    • Para x>-2 temos x+2>0\Rightarrow -2(x+2)<0\Rightarrow f''(x)<0: concavidade para baixo.
    • Em x=-2 temos f''(-2)=0 e mudança de concavidade: ponto de inflexão em (-2,0).
      Isso confirma que a curva tem forma em “S” deslocada, com inflexão no ponto onde corta o eixo x.

Passo 6

Instruções práticas para desenhar o gráfico à mão (passo a passo):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque horizontalmente alguns valores inteiros (por exemplo x=-4,-3,-2,-1,0,1) e verticalmente valores aproximados como -\tfrac{\pi}{2}, -\tfrac{\pi}{4}, 0, \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{\pi}{2}.
  2. Trace as assíntotas horizontais como linhas pontilhadas em y=\tfrac{\pi}{2} e y=-\tfrac{\pi}{2}.
  3. Plote os pontos calculados no Passo 4: (-4,-1,107), (-3,-\tfrac{\pi}{4}), (-2,0), (-1,\tfrac{\pi}{4}), (0,1,107), (1,1,249).
  4. No ponto (-2,0) desenhe uma pequena reta tangente com inclinação 1 (isso ajuda a posicionar a curva localmente).
  5. Ligue os pontos com uma curva suave em “S”: à esquerda de -2 a curva deve ser crescente e concava para cima aproximando-se de y=-\tfrac{\pi}{2} quando x\to-\infty; à direita de -2 a curva continua crescente, mas concava para baixo, aproximando-se de y=\tfrac{\pi}{2} quando x\to+\infty.
  6. Acrescente setas nas extremidades da curva apontando para as assíntotas (mostrar que a curva se aproxima delas sem tocar).
Pronto: o esboço terá a mesma forma de \operatorname{arctg} x mas deslocada 2 unidades para a esquerda: centro do “S” em (-2,0), assíntotas y=\pm\tfrac{\pi}{2}, crescente e com inflexão em (-2,0).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)
Assíntotas horizontais: y=\tfrac{\pi}{2} e y=-\tfrac{\pi}{2}
Ponto de interseção com o eixo x: (-2,0)
Ponto de interseção com o eixo y: \bigl(0,\operatorname{arctg}2\bigr)\approx(0,1,107)
Derivada: f'(x)=\dfrac{1}{1+(x+2)^{2}}>0 (função estritamente crescente)
Segunda derivada: f''(x)=-\dfrac{2(x+2)}{(1+(x+2)^{2})^{2}} (concavidade muda em x=-2; inflexão em (-2,0))
Esboço: curva em “S” igual à de \operatorname{arctg} x deslocada 2 unidades para a esquerda (usar os pontos (-4,\operatorname{arctg}(-2)), (-3,-\tfrac{\pi}{4}), (-2,0), (-1,\tfrac{\pi}{4}), (0,\operatorname{arctg}2) para traçar).

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