Faça o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede: "Faça o gráfico de
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Não há mais informações (logo devo usar propriedades da função arco-tangente e transformações de gráfico).
Passo 2
Entendendo a função básica
(aqui explico com calma do zero).
- Definição e significado:
é a função inversa da tangente restrita ao intervalo . Isso significa que dá o ângulo tal que . - Domínio e imagem:
Ou seja, está definida para todo e seus valores ficam entre e (não incluindo essas extremidades). - Assimptotas horizontais: quando
temos e quando temos . Logo as retas e são assíntotas horizontais do gráfico de . - Comportamento típico e pontos conhecidos:
Esses pontos são úteis para esboçar a forma em “S” suave da curva. - Derivada (pendente): para a função básica vale
Isso mostra que é uma função estritamente crescente (derivada positiva para todo ). - Inflection: a curva tem ponto de inflexão em
(mudança de concavidade) para a porque a segunda derivada muda de sinal em .
Passo 3
Entendendo a transformação:
é a composição da função básica com
.
- Regra de transformações horizontais: se
, então o gráfico de é o gráfico de deslocado 2 unidades para a esquerda (porque cada em devolve o valor que teria em ). Em outras palavras, para obter pegamos o gráfico de e deslocamos tudo 2 unidades para a esquerda. - Consequência prática: todos os pontos que sabíamos para
se movem para a esquerda 2 unidades; as assíntotas horizontais permanecem as mesmas (porque deslocamento horizontal não muda o limite em no sentido dos valores ).
Passo 4
Aplicando a transformação aos elementos chave e calculando pontos.
- Domínio e imagem:
(deslocamento horizontal não altera domínio nem imagem neste caso). - Assíntotas horizontais:
Logo as retas e continuam sendo assíntotas horizontais do gráfico de . - Interceptos e pontos fáceis:
- Raiz (
-intercept): resolvendo obtém-se . Então a curva passa por . - Interseção com
-eixo ( ): - Alguns pontos úteis para esboçar (calculei valores exatos quando possível e aproximações):
- Raiz (
Essas coordenadas dão vários pontos ao longo da curva para conectar suavemente.
- Observação sobre unidades: os valores estão em radianos (por isso aparecem
nas expressões).
Passo 5
Monotonicidade, derivada e concavidade — cálculo e interpretação (aqui explico as fórmulas usadas).
- Derivada usando regra da cadeia: se
então No nosso caso e . Portanto Como para todo , temos em . Conclusão: é estritamente crescente em todo o domínio. - Valor da derivada no ponto de inflexão/mudança:
. Assim a inclinação no ponto é (reta tangente com coeficiente angular ). - Segunda derivada (para concavidade): derivando
, O sinal de é o sinal de . Logo: - Para
temos : concavidade para cima. - Para
temos : concavidade para baixo. - Em
temos e mudança de concavidade: ponto de inflexão em .
Isso confirma que a curva tem forma em “S” deslocada, com inflexão no ponto onde corta o eixo.
- Para
Passo 6
Instruções práticas para desenhar o gráfico à mão (passo a passo):
- Desenhe os eixos
e . Marque horizontalmente alguns valores inteiros (por exemplo ) e verticalmente valores aproximados como , , , , . - Trace as assíntotas horizontais como linhas pontilhadas em
e . - Plote os pontos calculados no Passo 4:
, , , , , . - No ponto
desenhe uma pequena reta tangente com inclinação (isso ajuda a posicionar a curva localmente). - Ligue os pontos com uma curva suave em “S”: à esquerda de
a curva deve ser crescente e concava para cima aproximando-se de quando ; à direita de a curva continua crescente, mas concava para baixo, aproximando-se de quando . - Acrescente setas nas extremidades da curva apontando para as assíntotas (mostrar que a curva se aproxima delas sem tocar).
Pronto: o esboço terá a mesma forma de
mas deslocada 2 unidades para a esquerda: centro do “S” em
, assíntotas
, crescente e com inflexão em
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntotas horizontais: e
Ponto de interseção com o eixo :
Ponto de interseção com o eixo :
Derivada: (função estritamente crescente)
Segunda derivada: (concavidade muda em
; inflexão em
)
Esboço: curva em “S” igual à de deslocada 2 unidades para a esquerda (usar os pontos
,
,
,
,
para traçar).
Imagem:
Assíntotas horizontais:
Ponto de interseção com o eixo
Ponto de interseção com o eixo
Derivada:
Segunda derivada:
Esboço: curva em “S” igual à de