Calcule as integrais abaixo:
(a) \quad \int_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)^{2} d V, \quad W:\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\\ 0 \leq z \leq 1\end{array}\right.
(b) \quad \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z d y d x
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
Há duas integrais a calcular:
(a) Calcular \displaystyle \int_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)^{2} dV, onde W é o sólido dado por
No item (a) a região W é um cilindro circular reto de raio 1 no plano xy e altura 1 (de z=0 a z=1).
No item (b) a região de integração é o primeiro octante do interior da esfera de raio 1 (pois x,y,z\ge0 e x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1). O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, que é a distância radial ao ponto origem.
Passo 2
Resolução do item (a): escolha de coordenadas e justificativa didática.
Observação: a região W tem simetria circular em x,y. Quando a região é um cilindro ao redor do eixo z e o integrando depende de x^{2}+y^{2}, é muito mais prático usar coordenadas cilíndricas.
Conversão para coordenadas cilíndricas:x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.Aqui r\ge0 é a distância ao eixo z no plano xy, \theta é o ângulo azimutal e z é o mesmo z.
Elemento de volume em coordenadas cilíndricas: \,dV = r\,dr\,d\theta\,dz. Explicação: o fator r aparece porque pequenas áreas em coordenadas polares têm área r\,dr\,d\theta; adicionando dz obtém-se o volume.
Passo 3
Especificar os limites na coordenadas cilíndricas para W e reescrever o integrando.
Pelas restrições de W: x^{2}+y^{2}\le1 vira 0\le r\le1, e a variável \theta percorre todo o círculo: 0\le \theta\le 2\pi. Para z: 0\le z\le1.
O integrando \left(x^{2}+y^{2}+z\right)^{2} em coordenadas cilíndricas fica \left(r^{2}+z\right)^{2}.
Portanto a integral tripla vira\int_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)^{2} dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{1}\left(r^{2}+z\right)^{2}\, r\,dz\,dr\,d\theta.
Passo 4
Desenvolver a integral do item (a) calculando passo a passo.
Primeiro, expandir o integrando para simplificar a integração em z:\left(r^{2}+z\right)^{2}r = \big(r^{4}+2r^{2}z+z^{2}\big)r = r^{5}+2r^{3}z+r z^{2}.
Integrar em z de 0 a 1:\int_{0}^{1}\big(r^{5}+2r^{3}z+r z^{2}\big)\,dz = r^{5}\cdot 1 + 2r^{3}\cdot\frac{1}{2} + r\cdot\frac{1}{3} = r^{5}+r^{3}+\frac{1}{3}r.
Passo 5
Continuar o cálculo do item (a) integrando em r e \theta.
Integrar em r de 0 a 1:\int_{0}^{1}\left(r^{5}+r^{3}+\frac{1}{3}r\right)\,dr = \left[\frac{r^{6}}{6}+\frac{r^{4}}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}.
Somar as frações:\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}.
Finalmente integrar em \theta de 0 a 2\pi (multiplicando por 2\pi):\int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \frac{7}{12} = 2\pi\cdot\frac{7}{12}=\frac{7\pi}{6}.
Passo 6
Conclusão do item (a).
O valor da integral do item (a) é \dfrac{7\pi}{6}.
Passo 7
Resolução do item (b): identificação da região e escolha de coordenadas.
A região dada pelos limites0\le x\le1,\qquad 0\le y\le\sqrt{1-x^{2}},\qquad 0\le z\le\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}é precisamente o conjunto de pontos no primeiro octante (x,y,z\ge0) com x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1: o quarto do volume da esfera de raio 1 limitado aos sinais positivos — portanto é natural usar coordenadas esféricas.
Conversão para coordenadas esféricas (convencional):x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,onde \rho\ge0 é a distância ao origem, 0\le\varphi\le\pi é o ângulo polar medido a partir do eixo z, e 0\le\theta<2\pi é o ângulo azimutal no plano xy.
Elemento de volume em esféricas: \,dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Passo 8
Determinar os limites em esféricas e transformar o integrando.
Na nossa região primeiro octante com x,y,z\ge0 e \rho\le1:
\rho varia de 0 a 1.
\theta (azimute) varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} (porque x\ge0,y\ge0).
\varphi (polar) varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} (porque z=\rho\cos\varphi\ge0).
O integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é simplesmente \rho em coordenadas esféricas.
Portanto o integrando com o jacobiano fica \rho\cdot \rho^{2}\sin\varphi=\rho^{3}\sin\varphi.
A integral torna-se\int_{\theta=0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{\varphi=0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{\rho=0}^{1}\rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Passo 9
Calcular a integral do item (b) separando as integrais.
Como a expressão é produto de funções de variáveis separáveis, podemos separar:\left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} d\theta\right) \left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{0}^{1}\rho^{3}\,d\rho\right).
Calcular cada uma:\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2},