Calcule \int_{W} f d V onde:
(a) f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, W é a região limitada acima pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e abaixo pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}};
(b) f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}, \quad W é a região interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1 e à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos para cada item.
(a) O enunciado dá:
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
W é a região limitada acima pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e abaixo pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O que se pede: calcular \displaystyle \int_{W} f\,dV para esse W.
(b) O enunciado dá:
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.
W é a região interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1 e à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
O que se pede: calcular \displaystyle \int_{W} f\,dV para esse W.
Passo 2
(Explicando e escolhendo coordenadas adequadas para o item (a).)
Observação inicial e escolha: a região do item (a) é simétrica em torno do eixo z e envolve uma esfera e um cone com vértice na origem. Para regiões assim é muito natural usar coordenadas esféricas. Vou explicar rapidamente o que são e por que são úteis.
Breve aula sobre coordenadas esféricas:
Em coordenadas esféricas usa-se \rho (distância à origem), \varphi (ângulo polar medido a partir do eixo z) e \theta (ângulo azimutal no plano xy). Assim:
Explicação do Jacobiano: o fator \rho^{2}\sin\varphi vem da transformação das coordenadas cartesianas; é o “peso” que converte uma pequena caixa (d\rho,d\varphi,d\theta) em volume.
Agora usar isso no problema (a):
Converter a superfície do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} para esféricas:
(Explicando e escolhendo coordenadas para o item (b).)
Observação e escolha: a região do item (b) é o conjunto de pontos que estão dentro do cilindro de raio 1 e também dentro da esfera de raio 2. Essa região é simétrica em torno do eixo z e tem limites radiais claros, então coordenadas cilíndricas são convenientes.
Breve aula sobre coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas cilíndricas usa-se r (distância ao eixo z), \theta (ângulo azimutal) e z. Assim:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z.
O elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do Jacobiano: o fator r aparece porque a pequena área no plano xy é r\,dr\,d\theta.
Converter a função: f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Descrever a região W:
Dentro do cilindro: 0\le r\le 1.
Dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 equivale a r^{2}+z^{2}\le 4, então para cada r fixo temos
\displaystyle \int_{W} f\,dV = 2\pi \int_{0}^{1} 2 r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\, dr = 4\pi \int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\, dr.
Calcular a integral em r. Faço a substituição t=r^{2}. Então dt=2r\,dr e r^{3}\,dr = r^{2}\cdot r\,dr = t\cdot \frac{dt}{2}. Os limites: r=0\Rightarrow t=0, r=1\Rightarrow t=1. Assim:
\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\, dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} t\sqrt{4-t}\, dt.
Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} t\sqrt{4-t}\, dt. Faço a mudança u=4-t (ou integro direto por partes). Usando u=4-t dá:
\int_{0}^{1} t\sqrt{4-t}\, dt = \int_{3}^{4} (4-u)\, u^{1/2}\, du = \int_{3}^{4} \big(4u^{1/2}-u^{3/2}\big)\, du.