Calcule \int_{W} f d V onde:
(a) f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, W é a região limitada acima pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e abaixo pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}};
(b) f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}, \quad W é a região interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1 e à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos para cada item.
(a) O enunciado dá:
  • f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • W é a região limitada acima pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e abaixo pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O que se pede: calcular \displaystyle \int_{W} f\,dV para esse W.
(b) O enunciado dá:
  • f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.
  • W é a região interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1 e à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
O que se pede: calcular \displaystyle \int_{W} f\,dV para esse W.

Passo 2

(Explicando e escolhendo coordenadas adequadas para o item (a).)
Observação inicial e escolha: a região do item (a) é simétrica em torno do eixo z e envolve uma esfera e um cone com vértice na origem. Para regiões assim é muito natural usar coordenadas esféricas. Vou explicar rapidamente o que são e por que são úteis.
Breve aula sobre coordenadas esféricas:
  • Em coordenadas esféricas usa-se \rho (distância à origem), \varphi (ângulo polar medido a partir do eixo z) e \theta (ângulo azimutal no plano xy). Assim:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação do Jacobiano: o fator \rho^{2}\sin\varphi vem da transformação das coordenadas cartesianas; é o “peso” que converte uma pequena caixa (d\rho,d\varphi,d\theta) em volume.
Agora usar isso no problema (a):
Converter a superfície do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} para esféricas:
\rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.
Isto mostra que o cone é a superfície de \varphi=\pi/4. A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 é \rho=4.
Limites na integral:
  • \theta varia por toda volta: 0\le\theta\le2\pi.
  • \varphi corresponde aos pontos acima do cone, ou seja, \varphi vai do eixo z até a superfície do cone: 0\le\varphi\le\pi/4.
  • \rho vai do núcleo até a esfera: 0\le\rho\le4.
Também converter a função: f=x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
Portanto o integrando f\,dV vira \rho^{2}\cdot \rho^{2}\sin\varphi=\rho^{4}\sin\varphi.

Passo 3

(Cálculo explícito do item (a), passo a passo.)
Montando a integral em esféricas:
\displaystyle \int_{W} f\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{4} \rho^{4}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Vamos integrar por partes simples, na ordem \rho, \varphi, \theta.
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{4} \rho^{4}\, d\rho = \left.\frac{\rho^{5}}{5}\right|_{0}^{4} = \frac{4^{5}}{5}=\frac{1024}{5}.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/4} \sin\varphi\, d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi/4} = -\cos\frac{\pi}{4} + \cos 0 = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo:
\displaystyle \int_{W} f\,dV = 2\pi \cdot \left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{1024}{5} = \frac{2048\pi}{5}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 4

(Explicando e escolhendo coordenadas para o item (b).)
Observação e escolha: a região do item (b) é o conjunto de pontos que estão dentro do cilindro de raio 1 e também dentro da esfera de raio 2. Essa região é simétrica em torno do eixo z e tem limites radiais claros, então coordenadas cilíndricas são convenientes.
Breve aula sobre coordenadas cilíndricas:
  • Em coordenadas cilíndricas usa-se r (distância ao eixo z), \theta (ângulo azimutal) e z. Assim:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z.
  • O elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do Jacobiano: o fator r aparece porque a pequena área no plano xy é r\,dr\,d\theta.
Converter a função: f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Descrever a região W:
  • Dentro do cilindro: 0\le r\le 1.
  • Dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 equivale a r^{2}+z^{2}\le 4, então para cada r fixo temos
-\sqrt{4-r^{2}}\le z\le \sqrt{4-r^{2}}.
  • \theta varia 0\le\theta\le2\pi.
Montando a integral em cilíndricas:
\displaystyle \int_{W} f\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r^{2}\cdot r \, dz\, dr\, d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r^{3}\, dz\, dr\, d\theta.

Passo 5

(Cálculo explícito do item (b), passo a passo.)
  1. Integrar em z primeiro (é direto porque o integrando não depende de z):
\int_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r^{3}\, dz = r^{3}\cdot\Big(2\sqrt{4-r^{2}}\Big).
  1. Integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
então a integral fica
\displaystyle \int_{W} f\,dV = 2\pi \int_{0}^{1} 2 r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\, dr = 4\pi \int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\, dr.
  1. Calcular a integral em r. Faço a substituição t=r^{2}. Então dt=2r\,dr e r^{3}\,dr = r^{2}\cdot r\,dr = t\cdot \frac{dt}{2}. Os limites: r=0\Rightarrow t=0, r=1\Rightarrow t=1. Assim:
\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\, dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} t\sqrt{4-t}\, dt.
  1. Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} t\sqrt{4-t}\, dt. Faço a mudança u=4-t (ou integro direto por partes). Usando u=4-t dá:
\int_{0}^{1} t\sqrt{4-t}\, dt = \int_{3}^{4} (4-u)\, u^{1/2}\, du = \int_{3}^{4} \big(4u^{1/2}-u^{3/2}\big)\, du.
Integro termo a termo:
\int \!4u^{1/2}\,du = \frac{8}{3}u^{3/2},\qquad \int \!u^{3/2}\,du = \frac{2}{5}u^{5/2}.
Então o valor definido é
\left[\frac{8}{3}u^{3/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}\right]_{3}^{4}.
  1. Avaliando em u=4 e u=3:
  • Para u=4: u^{3/2}=8, u^{5/2}=32, então \frac{8}{3}\cdot 8 - \frac{2}{5}\cdot 32 = \frac{64}{3} - \frac{64}{5} = \frac{128}{15}.
  • Para u=3: u^{3/2}=3\sqrt{3}, u^{5/2}=9\sqrt{3}, então \frac{8}{3}\cdot 3\sqrt{3}-\frac{2}{5}\cdot 9\sqrt{3} = 8\sqrt{3}-\frac{18}{5}\sqrt{3} = \frac{22}{5}\sqrt{3}.
Subtraindo:
\int_{0}^{1} t\sqrt{4-t}\, dt = \frac{128}{15} - \frac{22}{5}\sqrt{3} = \frac{128-66\sqrt{3}}{15}.
  1. Lembrando do fator \tfrac{1}{2} da substituição t=r^{2}, obtemos
\int_{0}^{1} r^{3}\sqrt{4-r^{2}}\, dr = \frac{1}{2}\cdot \frac{128-66\sqrt{3}}{15} = \frac{128-66\sqrt{3}}{30}.
  1. Finalmente multiplicando pelo prefator 4\pi:
\displaystyle \int_{W} f\,dV = 4\pi \cdot \frac{128-66\sqrt{3}}{30} = \frac{4\pi}{30}\big(128-66\sqrt{3}\big) = \frac{256\pi - 132\pi\sqrt{3}}{15}.
Uma forma factorizada conveniente é
\displaystyle \int_{W} f\,dV = \frac{4\pi}{15}\big(64-33\sqrt{3}\big).

Resposta

\displaystyle (a)\; \frac{2048\pi}{5}\Big(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)\n
\displaystyle (b)\; \frac{256\pi-132\pi\sqrt{3}}{15} = \frac{4\pi}{15}\big(64-33\sqrt{3}\big)

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