Calcule as integrais abaixo:
(a) \quad \int_{D} \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)} d A, \quad D: x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1
(b) \quad \int_{0}^{3} \int_{x}^{\sqrt{18-x^{2}}} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}+1\right) d y d x,

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver ainda).
  • Parte (a): calcular \displaystyle \int_{D} \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\, dA, onde D é o disco definido por \;x^{2}+(y-1)^{2}\le 1.
  • Parte (b): calcular \displaystyle \int_{0}^{3}\int_{x}^{\sqrt{18-x^{2}}} \operatorname{sen}\!\left(x^{2}+y^{2}+1\right)\, dy\, dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • Em (a) o integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}} (a distância ao origem) e a região D é um círculo de centro (0,1) e raio 1.
  • Em (b) a região de integração é descrita por 0\le x\le 3 e, para cada x, x\le y\le \sqrt{18-x^{2}}. A curva y=\sqrt{18-x^{2}} é a semicircunferência do círculo x^{2}+y^{2}=18 (parte com y\ge0). A reta y=x é a outra fronteira.

Passo 2

Estratégia e ferramentas úteis (breve aula): coordenadas polares e Jacobiano.
  • Coordenadas polares: usar x = r\cos\theta, y = r\sin\theta. Aqui r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • Jacobiano: a mudança de variável implica dA = r\, dr\, d\theta. Isso aparece porque a área de um pequeno elemento em polares é aproximadamente r\, d r\, d\theta.
  • Quando o integrando depende de x^{2}+y^{2}, em polares ele depende apenas de r^{2} (ou r), o que geralmente simplifica muito.
  • Também é comum parametrizar a região D em polares encontrando as desigualdades que r e \theta satisfazem.
Vou aplicar isso às duas partes, porque ambas têm integrandos que ficam simples em polares: em (a) \sqrt{x^2+y^2}=r; em (b) \operatorname{sen}(x^2+y^2+1)=\operatorname{sen}(r^2+1).

Passo 3

Resolvendo (a): descrição da região D em polares.
A região D é o disco x^{2}+(y-1)^{2}\le 1. Em polares:
x^{2}+(y-1)^{2} = r^{2}-2r\sin\theta +1 \le 1.
Subtraindo 1 em ambos os lados obtemos
r^{2}-2r\sin\theta \le 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r-2\sin\theta)\le 0.
Como r\ge 0, isso equivale a
0 \le r \le 2\sin\theta.
Para que 2\sin\theta\ge 0 precisamos de \sin\theta\ge 0, portanto \theta varia de 0 a \pi. Conclusão:
  • \theta\in [0,\pi],
  • r\in [0,\,2\sin\theta].
Observação intuitiva: esse é o disco de raio 1 deslocado para cima; em polares ele corresponde ao conjunto de raios até a curva r=2\sin\theta.

Passo 4

Resolvendo (a): escrever a integral em polares e calcular.
O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e dA = r\, dr\, d\theta. Portanto o integrando em polares fica r\cdot r = r^{2}. A integral torna-se
\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2\sin\theta} r^{2}\, dr\, d\theta.
Agora calculamos a integral interna em r:
\int_{0}^{2\sin\theta} r^{2}\, dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2\sin\theta} = \frac{(2\sin\theta)^{3}}{3} = \frac{8}{3}\sin^{3}\theta.
Logo a integral fica
\int_{0}^{\pi} \frac{8}{3}\sin^{3}\theta\, d\theta = \frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\, d\theta.

Passo 5

Resolvendo (a): calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\, d\theta.
Usa-se a identidade ou substituição. Faço por decomposição:
\sin^{3}\theta = \sin\theta(1-\cos^{2}\theta).
Se u=\cos\theta então du = -\sin\theta\, d\theta. Assim
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\, d\theta = \int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta - \int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{2}\theta\, d\theta.
Calculando separadamente:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta = 2,
e, com u=\cos\theta,
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{2}\theta\, d\theta = -\int_{1}^{-1} u^{2}\, du = \int_{-1}^{1} u^{2}\, du = 2\int_{0}^{1} u^{2}\, du = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\, d\theta = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.
Substituindo na integral principal:
\frac{8}{3}\cdot \frac{4}{3} = \frac{32}{9}.
Assim a parte (a) vale \dfrac{32}{9}.

Passo 6

Resolvendo (b): descrição da região de integração e escolha de coordenadas.
A região R descrita pelo enunciado é
R = \{(x,y): 0\le x\le 3,\; x\le y\le \sqrt{18-x^{2}}\}.
  • A curva y=\sqrt{18-x^{2}} é a semicircunferência do círculo x^{2}+y^{2}=18 com y\ge 0.
  • A reta y=x é uma linha passando pela origem com ângulo \theta=\pi/4 em coordenadas polares.
    Queremos reescrever R em polares. Note que:
  • A condição y\ge x equivale a \theta\ge \pi/4 (na metade superior \theta\in[0,\pi]).
  • A condição y\le \sqrt{18-x^{2}} é equivalente a r\le \sqrt{18}=3\sqrt{2} (pelo círculo).
  • A condição 0\le x\le 3 é satisfeita automaticamente para os ângulos \theta\in[\pi/4,\pi/2] quando r\le 3\sqrt{2} (no ponto de interseção da reta y=x com o círculo obtemos x=3, então para \theta>\pi/4 a abscissa é menor que 3). Portanto a região é o setor circular:
\theta\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right],\qquad 0\le r\le 3\sqrt{2}.

Passo 7

Resolvendo (b): trocar para polares e integrar.
O integrando é \operatorname{sen}\!\left(x^{2}+y^{2}+1\right)=\operatorname{sen}\!\left(r^{2}+1\right) e dA = r\, dr\, d\theta. Assim a integral fica
\int_{x=0}^{3}\int_{y=x}^{\sqrt{18-x^{2}}} \operatorname{sen}\!\left(x^{2}+y^{2}+1\right)\, dy\, dx = \int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3\sqrt{2}} \operatorname{sen}\!\left(r^{2}+1\right)\, r\, dr\, d\theta.
Para a integral em r usamos a substituição u=r^{2}+1, então du = 2r\, dr e r\, dr = \tfrac{1}{2}du. Os limites: r=0\Rightarrow u=1, r=3\sqrt{2}\Rightarrow u=18+1=19. Assim
\int_{0}^{3\sqrt{2}} \operatorname{sen}\!\left(r^{2}+1\right)\, r\, dr = \frac{1}{2}\int_{u=1}^{19} \operatorname{sen}(u)\, du = \frac{1}{2}\bigl(-\cos u\bigr)\Big|_{1}^{19} = \frac{1}{2}\bigl(\cos 1 - \cos 19\bigr).
Agora integramos em \theta: o integrando resultante não depende de \theta, então
\int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{1}{2}\bigl(\cos 1 - \cos 19\bigr)\, d\theta = \frac{1}{2}\bigl(\cos 1 - \cos 19\bigr)\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\bigl(\cos 1 - \cos 19\bigr)\cdot\frac{\pi}{4}.
Portanto o valor final é
\frac{\pi}{8}\bigl(\cos 1 - \cos 19\bigr).

Resposta

\dfrac{32}{9}
\dfrac{\pi}{8}\bigl(\cos 1 - \cos 19\bigr)

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