Calcule as integrais abaixo:
(a) \quad \int_{D} \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)} d A, \quad D: x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1
(b) \quad \int_{0}^{3} \int_{x}^{\sqrt{18-x^{2}}} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}+1\right) d y d x,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver ainda).
Parte (a): calcular \displaystyle \int_{D} \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\, dA, onde D é o disco definido por \;x^{2}+(y-1)^{2}\le 1.
Parte (b): calcular \displaystyle \int_{0}^{3}\int_{x}^{\sqrt{18-x^{2}}} \operatorname{sen}\!\left(x^{2}+y^{2}+1\right)\, dy\, dx.
Informações relevantes fornecidas:
Em (a) o integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}} (a distância ao origem) e a região D é um círculo de centro (0,1) e raio 1.
Em (b) a região de integração é descrita por 0\le x\le 3 e, para cada x, x\le y\le \sqrt{18-x^{2}}. A curva y=\sqrt{18-x^{2}} é a semicircunferência do círculo x^{2}+y^{2}=18 (parte com y\ge0). A reta y=x é a outra fronteira.
Passo 2
Estratégia e ferramentas úteis (breve aula): coordenadas polares e Jacobiano.
Coordenadas polares: usar x = r\cos\theta, y = r\sin\theta. Aqui r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
Jacobiano: a mudança de variável implica dA = r\, dr\, d\theta. Isso aparece porque a área de um pequeno elemento em polares é aproximadamente r\, d r\, d\theta.
Quando o integrando depende de x^{2}+y^{2}, em polares ele depende apenas de r^{2} (ou r), o que geralmente simplifica muito.
Também é comum parametrizar a região D em polares encontrando as desigualdades que r e \theta satisfazem.
Vou aplicar isso às duas partes, porque ambas têm integrandos que ficam simples em polares: em (a) \sqrt{x^2+y^2}=r; em (b) \operatorname{sen}(x^2+y^2+1)=\operatorname{sen}(r^2+1).
Passo 3
Resolvendo (a): descrição da região D em polares.
A região D é o disco x^{2}+(y-1)^{2}\le 1. Em polares:
Resolvendo (b): descrição da região de integração e escolha de coordenadas.
A região R descrita pelo enunciado é
R = \{(x,y): 0\le x\le 3,\; x\le y\le \sqrt{18-x^{2}}\}.
A curva y=\sqrt{18-x^{2}} é a semicircunferência do círculo x^{2}+y^{2}=18 com y\ge 0.
A reta y=x é uma linha passando pela origem com ângulo \theta=\pi/4 em coordenadas polares.
Queremos reescrever R em polares. Note que:
A condição y\ge x equivale a \theta\ge \pi/4 (na metade superior \theta\in[0,\pi]).
A condição y\le \sqrt{18-x^{2}} é equivalente a r\le \sqrt{18}=3\sqrt{2} (pelo círculo).
A condição 0\le x\le 3 é satisfeita automaticamente para os ângulos \theta\in[\pi/4,\pi/2] quando r\le 3\sqrt{2} (no ponto de interseção da reta y=x com o círculo obtemos x=3, então para \theta>\pi/4 a abscissa é menor que 3). Portanto a região é o setor circular:
Para a integral em r usamos a substituição u=r^{2}+1, então du = 2r\, dr e r\, dr = \tfrac{1}{2}du. Os limites: r=0\Rightarrow u=1, r=3\sqrt{2}\Rightarrow u=18+1=19. Assim
\int_{0}^{3\sqrt{2}} \operatorname{sen}\!\left(r^{2}+1\right)\, r\, dr = \frac{1}{2}\int_{u=1}^{19} \operatorname{sen}(u)\, du = \frac{1}{2}\bigl(-\cos u\bigr)\Big|_{1}^{19} = \frac{1}{2}\bigl(\cos 1 - \cos 19\bigr).
Agora integramos em \theta: o integrando resultante não depende de \theta, então