Calcule as integrais abaixo usando frações parciais.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
ou seja, encontrar uma antiderivada da função racional
. As informações dadas são somente o numerador
e o denominador
. A técnica pedida é “frações parciais”.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador. Observe que o polinômio no denominador é um polinômio em
. Faço a substituição mental
para ver a fatoração:
Voltando a
, isso dá a fatoração
Essa fatoração é útil porque o denominador fica produto de dois quadráticos irreduzíveis reais distintos.
Passo 3
Agora aplico a decomposição em frações parciais adequada para produto de quadráticos distintos. Como
e
são quadráticos irreduzíveis (não se decompõem em raízes reais), o numerador de cada parcela deve ser um polinômio de grau menor que 2, ou seja, linear: proponho
onde
são constantes a determinar. A razão: somando as duas frações obtemos novamente denominador
e os numeradores lineares são a forma geral necessária.
Passo 4
Multiplico ambos os lados pela denominação
para obter uma identidade polinomial:
Vou expandir os produtos no lado direito. Primeiro
e
Somando:
Passo 5
Agora igualo coeficientes do polinômio à esquerda
Resolvo em passos:
- Subtraindo a primeira equação da terceira:
, logo
. - Da primeira equação
. - Das duas últimas equações: subtraindo a segunda da quarta:
dá então . - Da segunda equação
.
Portanto
Passo 6
Substituindo de volta na decomposição obtemos
Isso simplifica bastante: a integral original se torna a soma de duas integrais simples.
Passo 7
Integro termo a termo. Lembre que uma primitiva de
pode ser obtida pela substituição
, porque
. Então
Aplicando isso a cada parcela:
e
Passo 8
Somando as duas primitivas encontro a antiderivada geral:
Posso também juntar os logaritmos:
Pronto — esse é o resultado final. Vai dar tudo certo na prova, você conseguiu!