Calcule as integrais abaixo usando frações parciais.
\int \frac{x^{3}+2 x}{x^{4}+4 x^{2}+3} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{3}+2 x}{x^{4}+4 x^{2}+3}\,dx,
ou seja, encontrar uma antiderivada da função racional \dfrac{x^{3}+2x}{x^{4}+4x^{2}+3}. As informações dadas são somente o numerador x^{3}+2x e o denominador x^{4}+4x^{2}+3. A técnica pedida é “frações parciais”.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador. Observe que o polinômio no denominador é um polinômio em x^{2}. Faço a substituição mental u=x^{2} para ver a fatoração:
x^{4}+4x^{2}+3 = u^{2}+4u+3 = (u+1)(u+3).
Voltando a x, isso dá a fatoração
x^{4}+4x^{2}+3=(x^{2}+1)(x^{2}+3).
Essa fatoração é útil porque o denominador fica produto de dois quadráticos irreduzíveis reais distintos.

Passo 3

Agora aplico a decomposição em frações parciais adequada para produto de quadráticos distintos. Como x^{2}+1 e x^{2}+3 são quadráticos irreduzíveis (não se decompõem em raízes reais), o numerador de cada parcela deve ser um polinômio de grau menor que 2, ou seja, linear: proponho
\frac{x^{3}+2x}{(x^{2}+1)(x^{2}+3)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+3},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. A razão: somando as duas frações obtemos novamente denominador (x^{2}+1)(x^{2}+3) e os numeradores lineares são a forma geral necessária.

Passo 4

Multiplico ambos os lados pela denominação (x^{2}+1)(x^{2}+3) para obter uma identidade polinomial:
x^{3}+2x=(Ax+B)(x^{2}+3)+(Cx+D)(x^{2}+1).
Vou expandir os produtos no lado direito. Primeiro
(Ax+B)(x^{2}+3)=A x^{3}+B x^{2}+3A x+3B,
e
(Cx+D)(x^{2}+1)=C x^{3}+D x^{2}+C x+D.
Somando:
(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(3A+C)x+(3B+D).

Passo 5

Agora igualo coeficientes do polinômio à esquerda x^{3}+0x^{2}+2x+0\) com os coeficientes que acabamos de obter. O sistema é \[\begin{cases} A+C=1,\\[4pt] B+D=0,\\[4pt] 3A+C=2,\\[4pt] 3B+D=0. \end{cases}
Resolvo em passos:
  • Subtraindo a primeira equação da terceira: (3A+C)-(A+C)=2-1\] dá \(2A=1, logo A=\dfrac{1}{2}.
  • Da primeira equação C=1-A=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • Das duas últimas equações: subtraindo a segunda da quarta: (3B+D)-(B+D)=0-0 2B=0 então B=0.
  • Da segunda equação D=-B=0.
Portanto
A=\frac{1}{2},\quad B=0,\quad C=\frac{1}{2},\quad D=0.]

Passo 6

Substituindo de volta na decomposição obtemos
\frac{x^{3}+2x}{(x^{2}+1)(x^{2}+3)}=\frac{\tfrac{1}{2}x}{x^{2}+1}+\frac{\tfrac{1}{2}x}{x^{2}+3} =\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+3}.
Isso simplifica bastante: a integral original se torna a soma de duas integrais simples.

Passo 7

Integro termo a termo. Lembre que uma primitiva de \dfrac{x}{x^{2}+a} pode ser obtida pela substituição u=x^{2}+a, porque du=2x\,dx. Então
\int \frac{x}{x^{2}+a}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+a\bigr)+C.
Aplicando isso a cada parcela:
\int \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)=\frac{1}{4}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr),
e
\int \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+3}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+3\bigr)=\frac{1}{4}\ln\bigl(x^{2}+3\bigr).

Passo 8

Somando as duas primitivas encontro a antiderivada geral:
\int \frac{x^{3}+2x}{x^{4}+4x^{2}+3}\,dx =\frac{1}{4}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\frac{1}{4}\ln\bigl(x^{2}+3\bigr)+C.
Posso também juntar os logaritmos:
\frac{1}{4}\ln\bigl((x^{2}+1)(x^{2}+3)\bigr)+C.
Pronto — esse é o resultado final. Vai dar tudo certo na prova, você conseguiu!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln\bigl((x^{2}+1)(x^{2}+3)\bigr)+C

Exercícios relacionados