Classifique as séries abaixo em absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}.
  • A classificação pedida pode ser: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
    Não se resolve nada ainda; apenas organizamos o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: examinar a série das parcelas em módulo para checar convergência absoluta. Definimos
|a_n|=\left|\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}\right|=\left(\frac{2 n}{n+1}\right)^{5 n}.
Vou usar o Critério da Raiz (root test), que é muito prático quando o expoente envolve n. O enunciado do critério (em palavras): se
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}
existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente; se L>1 então a série diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calcular \sqrt[n]{|a_n|}. Como |a_n|=\left(\dfrac{2 n}{n+1}\right)^{5 n}, temos
\sqrt[n]{|a_n|}=\left(\frac{2 n}{n+1}\right)^5.
Agora calculemos o limite:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2 n}{n+1}\right)^5 = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{2 n}{n+1}\right)^5.
Para avaliar \lim_{n\to\infty}\dfrac{2 n}{n+1} divido numerador e denominador por n:
\frac{2 n}{n+1}=\frac{2}{1+1/n}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{2}{1+0}=2.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=2^5=32.
Como L=32>1, pelo Critério da Raiz a série de módulos \sum |a_n| diverge. Conclusão imediata: a série original NÃO é absolutamente convergente.

Passo 4

Mesmo não sendo absolutamente convergente, pode ainda ser condicionalmente convergente — vamos testar se a série original converge em si (sem módulo). Um teste básico e imprescindível: para uma série \sum a_n convergir é necessário que a_n\to 0 quando n\to\infty. Se a_n não tende a zero, a série diverge (teste da divergência).
Vamos estudar o comportamento de a_n quando n\to\infty. Primeiro o módulo novamente:
|a_n|=\left(\frac{2 n}{n+1}\right)^{5 n}=\left(\frac{2}{1+1/n}\right)^{5 n}=2^{5 n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-5 n}.
Usamos o limite clássico \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e. Assim
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-5 n}=\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{-5}\xrightarrow[n\to\infty]{} e^{-5}.
Logo para n grande
|a_n|\sim 2^{5 n} e^{-5}=(32)^n e^{-5},
ou seja, |a_n| cresce exponencialmente (tende a +\infty). Em particular |a_n|\not\to 0, então a_n\not\to 0.

Passo 5

Como a_n não tende a zero, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n não pode convergir. Pelo teste da divergência concluímos que a série diverge (independentemente do fato de alternância de sinal ou não).
Observação adicional (para entendimento): a parte sinalizada por (-1)^{5n} satisfaz (-1)^{5n}=(-1)^n, então os sinais alternam, mas isso não salva a série porque as magnitudes das parcelas crescem muito (em vez de decrescer para zero), e uma soma de termos alternados só pode convergir se os módulos dos termos forem tendendo a zero (por exemplo, a série alternada de Leibniz exige decaimento para zero).

Resposta

Divergente

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