Classifique as séries abaixo em absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}
O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}.
A classificação pedida pode ser: absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Não se resolve nada ainda; apenas organizamos o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: examinar a série das parcelas em módulo para checar convergência absoluta. Definimos
Como L=32>1, pelo Critério da Raiz a série de módulos \sum |a_n| diverge. Conclusão imediata: a série original NÃO é absolutamente convergente.
Passo 4
Mesmo não sendo absolutamente convergente, pode ainda ser condicionalmente convergente — vamos testar se a série original converge em si (sem módulo). Um teste básico e imprescindível: para uma série \sum a_n convergir é necessário que a_n\to 0 quando n\to\infty. Se a_n não tende a zero, a série diverge (teste da divergência).
Vamos estudar o comportamento de a_n quando n\to\infty. Primeiro o módulo novamente:
ou seja, |a_n| cresce exponencialmente (tende a +\infty). Em particular |a_n|\not\to 0, então a_n\not\to 0.
Passo 5
Como a_n não tende a zero, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n não pode convergir. Pelo teste da divergência concluímos que a série diverge (independentemente do fato de alternância de sinal ou não).
Observação adicional (para entendimento): a parte sinalizada por (-1)^{5n} satisfaz (-1)^{5n}=(-1)^n, então os sinais alternam, mas isso não salva a série porque as magnitudes das parcelas crescem muito (em vez de decrescer para zero), e uma soma de termos alternados só pode convergir se os módulos dos termos forem tendendo a zero (por exemplo, a série alternada de Leibniz exige decaimento para zero).