Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da séries.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Foi dada a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
  • O que pedem:
    1. o raio de convergência;
    2. o intervalo de convergência (no eixo real).
  • Informações relevantes: a série é uma série de potências em x, envolvendo apenas potências ímpares x^{2n+1}. O índice n vai de 1 até \infty. Não há figura nem outra informação adicional.

Passo 2

Escolha do método de resolução — por que usar o Teste da Razão?
  • Para séries de potências que têm fatoriais nos denominadores, o Teste da Razão costuma ser o método mais direto e simples de aplicar: ele compara o termo n+1 com o termo n e dá uma condição em termos de |x|.
  • O objetivo do Teste da Razão é obter, para cada x fixo, o limite L(x)=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right|,onde a_n(x) é o n-ésimo termo da série. Se L(x)<1 a série converge; se L(x)>1 diverge; se L(x)=1 o teste é inconclusivo.
  • Vou aplicar o Teste da Razão aos termos a_n(x)=\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Calcular a razão \left|\dfrac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| passo a passo.
  • Primeiro escrevo a_{n+1}(x): a_{n+1}(x)=\frac{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}=\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+3}}{(2n+3)!}.
  • Agora a razão em valor absoluto: \left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{|x|^{2n+1}}.
  • Simplificando as potências de |x|: \left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =|x|^{2}\cdot\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}.
  • E o quociente de fatoriais: \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}=\frac{1}{(2n+3)(2n+2)}.
  • Logo \left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =\frac{|x|^{2}}{(2n+3)(2n+2)}.

Passo 4

Avaliar o limite quando n\to\infty e interpretar o resultado.
  • Calculo o limite L(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+3)(2n+2)}.
  • O denominador cresce como 4n^2 quando n\to\infty, então para qualquer x fixo temos L(x)=0.
  • Pelo Teste da Razão, como L(x)=0<1 para todo x real (qualquer |x| fixo), a série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Concluir sobre o raio de convergência.
  • O fato de a série convergir para todo x\in\mathbb{R} significa que o raio de convergência é infinito.
  • Em termos formais: o raio de convergência é R=\infty.

Passo 6

Concluir sobre o intervalo de convergência.
  • Como R=\infty, a série converge para todos os números reais, isto é, o intervalo de convergência é (-\,\infty,\infty).

Passo 7

Observação didática extra (útil para a prova, mas não necessária para o pedido): relação com a função seno.
  • Note que a série dada é exatamente a série de Taylor de \sin x sem o termo n=0. De fato \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
  • Portanto a série dada é \sin x - x, e como \sin x é uma função inteira (série convergente para todo x\in\mathbb{R} e \mathbb{C}), isso confirma que a série converge para todo x.

Resposta

R=\infty
(-\,\infty,\infty)

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