Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da séries. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
Foi dada a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
O que pedem:
o raio de convergência;
o intervalo de convergência (no eixo real).
Informações relevantes: a série é uma série de potências em x, envolvendo apenas potências ímpares x^{2n+1}. O índice n vai de 1 até \infty. Não há figura nem outra informação adicional.
Passo 2
Escolha do método de resolução — por que usar o Teste da Razão?
Para séries de potências que têm fatoriais nos denominadores, o Teste da Razão costuma ser o método mais direto e simples de aplicar: ele compara o termo n+1 com o termo n e dá uma condição em termos de |x|.
O objetivo do Teste da Razão é obter, para cada x fixo, o limiteL(x)=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right|,onde a_n(x) é o n-ésimo termo da série. Se L(x)<1 a série converge; se L(x)>1 diverge; se L(x)=1 o teste é inconclusivo.
Vou aplicar o Teste da Razão aos termosa_n(x)=\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Passo 3
Calcular a razão \left|\dfrac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| passo a passo.
Primeiro escrevo a_{n+1}(x):a_{n+1}(x)=\frac{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}=\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+3}}{(2n+3)!}.
Agora a razão em valor absoluto:\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{|x|^{2n+1}}.
Simplificando as potências de |x|:\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =|x|^{2}\cdot\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}.
E o quociente de fatoriais:\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}=\frac{1}{(2n+3)(2n+2)}.
Avaliar o limite quando n\to\infty e interpretar o resultado.
Calculo o limiteL(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+3)(2n+2)}.
O denominador cresce como 4n^2 quando n\to\infty, então para qualquer x fixo temosL(x)=0.
Pelo Teste da Razão, como L(x)=0<1 para todo x real (qualquer |x| fixo), a série converge para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 5
Concluir sobre o raio de convergência.
O fato de a série convergir para todo x\in\mathbb{R} significa que o raio de convergência é infinito.
Em termos formais: o raio de convergência é R=\infty.
Passo 6
Concluir sobre o intervalo de convergência.
Como R=\infty, a série converge para todos os números reais, isto é, o intervalo de convergência é (-\,\infty,\infty).
Passo 7
Observação didática extra (útil para a prova, mas não necessária para o pedido): relação com a função seno.
Note que a série dada é exatamente a série de Taylor de \sin x sem o termo n=0. De fato\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Portanto a série dada é \sin x - x, e como \sin x é uma função inteira (série convergente para todo x\in\mathbb{R} e \mathbb{C}), isso confirma que a série converge para todo x.