Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
integral2^3 arctan (x) d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral definida integral2^3arctan(x),dx. É um problema de integração e vamos usar a técnica de integração por partes, já que arctan(x) é fácil de derivar e dx é fácil de integrar.

Passo 2

Definimos na integração por partes u = arctan(x) e dv = dx. Derivando e integrando, obtemos
du = dx1+x^2,
e
v = x

Passo 3

Aplicando a fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos
integral arctan(x),dx = xarctan(x) - integral x1+x^2,dx
Essa última integral é
integral x1+x^2,dx = 12ln(1+x^2) + C
Logo a antiderivada geral é
F(x) = xarctan(x) - 12ln(1+x^2)

Passo 4

Agora avaliamos nos limites de 2 a 3. Temos
F(3) - F(2) = l(3arctan(3) - tfrac12ln(10)r) - l(2arctan(2) - tfrac12ln(5)r)
Isso dá
3arctan(3) - 2arctan(2) - tfrac12l(ln(10)-ln(5)r)
Como ln(10)-ln(5)=ln(2), obtemos o resultado final.

Passo 5

Resposta

3arctan(3) - 2arctan(2) - tfrac12ln(2)

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