Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
integral3^5 x^27-x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral3^5 x^27 - x^3 , dx
Esse problema cai direitinho em método de mudança de variável, pois vemos 7 - x^3 no denominador e o numerador é proporcional à sua derivada.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = 7 - x^3,
logo
du = -3x^2 , dx Longrightarrow x^2 , dx = -tfrac13,du
Com isso, o denominador vira u e o numerador se converte em -tfrac13du.

Passo 3

Substituindo na integral indefinida, obtemos
integral x^27 - x^3,dx = -tfrac13 integral duu = -tfrac13ln|u| + C

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, voltando para x e usando os limites de 3 a 5. A antiderivada definida é
-tfrac13lnl|7 - x^3r||3^5

Passo 5

Avaliando em x=5 e x=3:
-tfrac13l(ln|7-125| - ln|7-27|r) = -tfrac13(ln118 - ln20) = -tfrac13ln11820 = -tfrac13ln5910 = tfrac13ln1059

Resposta

tfrac13ln1059

Exercícios relacionados