Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
integral2^3(x^2+2 x+1) cdot e^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral2^3l(x^2+2x+1r)e^5x,dx
Isso faz parte do conteúdo de integrais de produto de polinômiais por exponenciais. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável simples e depois integral por partes para obter a antiderivada, finalizando com o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Observamos que
x^2+2x+1=(x+1)^2
Fazendo a substituição
u=x+1, dx=du, x=2Rightarrow u=3, x=3Rightarrow u=4,
a integral vira
integral2^3(x+1)^2e^5x,dx =integral3^4u^2e^5(u-1),du =e^-5integral3^4u^2e^5u,du
Chamando
J=integral u^2e^5u,du,
vamos encontrar uma antiderivada de J por partes.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes integral f,dg=f g-integral g,df, escolhemos
f=u^2, dg=e^5u,du ;Longrightarrow; df=2u,du, g=15e^5u
Assim
J=integral u^2e^5u,du =u^25e^5u-25integral u e^5u,du
Agora definimos
B=integral u e^5u,du
e aplicamos partes de novo com f=u e dg=e^5udu:
B=u5e^5u-15integral e^5u,du =u5e^5u-125e^5u
Substituindo B em J:
J=u^25e^5u-25l(u5e^5u-125e^5ur) =u^25e^5u-2u25e^5u+2125e^5u

Passo 4

Voltando à integral original com o fator e^-5 e avaliando de u=3 a u=4, temos
integral2^3(x^2+2x+1)e^5x,dx =e^-5l[Jr]3^4 =e^-5l(l[tfracu^25-tfrac2u25+tfrac2125r]e^5ur)3^4
Em u=4 o coeficiente é
165-825+2125=362125,
em u=3 é
95-625+2125=197125
Logo a integral vale
e^-5l(tfrac362125e^20-tfrac197125e^15r) =362e^15-197e^10125

Passo 5

Fizemos mudança de variável, usamos duas integrações por partes para obter a antiderivada de u^2e^5u e aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, chegando ao valor exato da integral definida.

Resposta

362e^15-197e^10125

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