Calcule as integrais abaixo, usando integrais por partes ou mudanças de variáveis, dependendo do caso:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Isso faz parte do conteúdo de integrais de produto de polinômiais por exponenciais. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável simples e depois integral por partes para obter a antiderivada, finalizando com o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Observamos que
Fazendo a substituição
a integral vira
Chamando
vamos encontrar uma antiderivada de
por partes.
Passo 3
Pela fórmula de integração por partes
, escolhemos
Assim
Agora definimos
e aplicamos partes de novo com
e
:
Substituindo
em
:
Passo 4
Voltando à integral original com o fator
e avaliando de
a
, temos
Em
o coeficiente é
em
é
Logo a integral vale
Passo 5
Fizemos mudança de variável, usamos duas integrações por partes para obter a antiderivada de
e aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, chegando ao valor exato da integral definida.