Calcule as integrais abaixo usando o método da integração por partes:
\int e^{x} \operatorname{sen} 2 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^xsen 2x,dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e de antiderivadas simples de e^x, sen 2x e cos 2x.

Passo 2

Defina
I = integral e^xsen 2x,dx
Escolhemos em uma primeira partes
u = e^x, dv = sen 2x,dx
o que dá
du = e^x,dx, v = -tfrac12cos 2x
Logo, por partes,
I = u,v - integral v,du = -12 e^xcos 2x - integrall(-12cos 2xr)e^x,dx = -12 e^xcos 2x + 12integral e^xcos 2x,dx
Chame
J = integral e^xcos 2x,dx
Então
I = -12 e^xcos 2x + 12,J

Passo 3

Para computar J, aplicamos partes de novo com
u = e^x, dv = cos 2x,dx
resultando em
du = e^x,dx, v = tfrac12sen 2x
Logo
J = u,v - integral v,du = 12 e^xsen 2x - 12integral e^xsen 2x,dx = 12 e^xsen 2x - 12,I

Passo 4

Substituindo J na expressão de I obtemos
I = -12 e^xcos 2x + 12l(12 e^xsen 2x - 12 Ir) = -12 e^xcos 2x + 14 e^xsen 2x - 14 I
Isolando I:
I + 14 I = 54 I = e^xl(-tfrac12cos 2x + tfrac14sen 2xr) = 14 e^xl(sen 2x - 2cos 2xr)
Logo
I = e^x5l(sen 2x - 2cos 2xr) + C

Resposta

integral e^xsen 2x,dx = e^x5l(sen 2x - 2cos 2xr) + C

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