Calcule as integrais abaixo usando o método da integração por partes:
\int e^{2 x} \operatorname{sen} 3 x dx

Passo 1

O exercício pede pra calcular a integral integral e^2x sen(3x) , dx usando o método de integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de integrais e vamos precisar da fórmula integral u, dv = u v - integral v, du, além de saber derivar e integrar exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Pra começar a resolução, vamos chamar a integral de I:
I = integral e^2x sen(3x) , dx
Aí a ideia é aplicar integração por partes: escolher u = e^2x, então du = 2e^2x , dx, e dv = sen(3x) , dx, logo v = -tfrac13cos(3x).

Passo 3

Aplicando a fórmula integral u, dv = u v - integral v, du, a gente tem:
I = e^2x cdot l(-tfrac13cos(3x)r) - integral l(-tfrac13cos(3x)r) cdot 2e^2x , dx
Simplificando dá:
I = -tfrac13e^2xcos(3x) + tfrac23 integral e^2x cos(3x) , dx

Passo 4

Agora a gente define outra integral auxiliar:
J = integral e^2x cos(3x) , dx
E faz integração por partes de novo, com u = e^2x e dv = cos(3x) , dx. Então du = 2e^2x , dx e v = tfrac13 sin(3x).

Passo 5

Aplicando de novo integral u, dv = u v - integral v, du em J:
J = e^2x cdot tfrac13sin(3x) - integral tfrac13sin(3x) cdot 2e^2x , dx
Que simplifica pra:
J = tfrac13e^2xsin(3x) - tfrac23 integral e^2x sen(3x) , dx
Ou seja:
J = tfrac13e^2xsen(3x) - tfrac23I

Passo 6

Voltando pra expressão de I, substituímos J:
I = -tfrac13e^2xcos(3x) + tfrac23l(tfrac13e^2xsen(3x) - tfrac23Ir)
Distribuindo e juntando termos de I:
I = -tfrac13e^2xcos(3x) + tfrac29e^2xsen(3x) - tfrac49I
Somando tfrac49I aos dois lados:
I + tfrac49I = -tfrac13e^2xcos(3x) + tfrac29e^2xsen(3x)
Isso dá:
tfrac139I = e^2x9l(2sen(3x) - 3cos(3x)r)

Resposta

e^2xl(2sen(3x) - 3cos(3x)r)13 + C

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